З вершин трикутника АВС в один бік від його площини проведено рівні і паралельні відрізки АА1, ВВ1, СС1. Доведіть, що площини (АBC) і (А1В1С1) паралельні. Розвʼяжіть за теоремою ознака паралельності площин Запишіть дано, довести, доведення
Дано:
- Трикутник ABC з вершинами A, B, C.
- Відрізки AA1, BB1, CC1, проведені з вершин трикутника ABC в один бік від його площини, рівні за довжиною (AA1 = BB1 = CC1) і паралельні один одному.
Довести:
Площини (ABC) і (A1B1C1) паралельні.
Доведення:
Визначення: Площина (ABC) визначається трьома точками A, B, C, а площина (A1B1C1) визначається трьома точками A1, B1, C1.
Паралельність відрізків: Відрізки AA1, BB1, CC1 паралельні між собою, тобто вони всі мають однаковий напрямок. Це означає, що вектори \(\vec{AA1}\), \(\vec{BB1}\), \(\vec{CC1}\) є колінеарними.
Ознаки паралельності площин: Згідно з ознакою паралельності площин, якщо дві площини мають спільну точку і паралельні до трьох невизначених напрямків (векторів), то ці площини паралельні.
Вектори, що належать площинам:
- Вектори, які використовуємо для площини (ABC): \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\) та \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}\).
- Вектори, які використовуємо для площини (A1B1C1): \(\vec{A1B1} = \vec{B1} - \vec{A1}\) і \(\vec{A1C1} = \vec{C1} - \vec{A1}\).
Співвідношення векторів: З того, що відрізки AA1, BB1, CC1 паралельні і рівні, можна стверджувати, що вектори \(\vec{A1B1}\) і \(\vec{A1C1}\) за своїм напрямком є колінеарними до векторів \(\vec{AB}\) і \(\vec{AC}\) відповідно.
Висновок: Оскільки площини (ABC) та (A1B1C1) містять вектори, які паралельні один одному (паралельний напрямок векторів AA1, BB1, CC1), ми можемо стверджувати, що площини (ABC) і (A1B1C1) є паралельними за теоремою ознаки паралельності площин.
Таким чином, доведено, що площини (ABC) і (A1B1C1) паралельні.
