Имеется 99 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между…
Имеется 99 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шариков разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа написал на коробках. Оказалось, что было написано 99 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках, если известно, что общее количество красных шариков такое же, как общее количество синих?
Пусть \( n_i \) — количество синих шариков в \( i \)-й коробке, а \( m_i \) — количество красных шариков. Разница между количеством шариков разных цветов в каждой коробке будет равна \( |n_i - m_i| \). По условию задачи, разности \( |n_i - m_i| \) для всех 99 коробок различны и равны 1, 2, ..., 99.
Для начала обозначим разности \( d_i = |n_i - m_i| \), где \( i \) принимает значения от 1 до 99. Тогда \( d_1, d_2, \ldots, d_{99} \) — это 99 различных натуральных чисел:
\[ d_1, d_2, \ldots, d_{99} = 1, 2, \ldots, 99. \]
Теперь рассмотрим два случая в зависимости от того, какой из шариков больше:
- Если \( n_i > m_i \), то \( n_i - m_i = d_i \), откуда \( n_i = m_i + d_i \).
- Если \( n_i < m_i \), то \( m_i - n_i = d_i \), откуда \( m_i = n_i + d_i \).
В обоих случаях общее количество шариков в \( i \)-й коробке можно выразить как:
\[ n_i + m_i = m_i + d_i + m_i = 2m_i + d_i \] или \[ n_i + m_i = n_i + d_i + n_i = 2n_i + d_i. \]
Теперь найдем минимальное количество шариков, которое может быть во всех коробках одновременно:
Предположим, что определим общее количество красных и синих шариков как
\[ R = \sum_{i=1}^{99} m_i \] и \[ B = \sum_{i=1}^{99} n_i. \]
Мы знаем, что \( R = B \).
Теперь найдем минимальное количество шариков в каждом случае. Если взять для каждого \( i \)-го \( m_i = k \), тогда \( n_i \) будет равно \( k + d_i \) или \( k - d_i \) в зависимости от того, какой цвет преобладает. Мы можем взять \( m_i = d_i \) (например, \( m_i = 1, 2, \ldots, 99 \)), и тогда получим:
\[ n_i = m_i + d_i = k + d_i. \]
Но с данной формой ограничений сумма обоих цветов остановится на фиксированном уровне \( B = R \).
Итак, минимальное количество шариков во всех коробках будет наименьшим при равенстве количества шариков одного цвета, минимизированном по каждому цвету:
Считаем:
\[ \text{Общее количество} = \sum_{i=1}^{99} n_i + \sum_{i=1}^{99} m_i = \sum_{i=1}^{99} (m_i + d_i + m_i) = 2R + \sum_{i=1}^{99} d_i = 2R + \frac{99(99 + 1)}{2} = 2R + 4950. \]
Подставляем, так как общее количество должно быть минимальным при \( R = B \).
К решениям мы сводим, что минимальная пара \( (R, B) ) \). Теперь вернемся к минимизации. Если мы рассматриваем \( R + B \) с минимальной суммой:
Наименьшая возможная сумма шариков с учетом, что количество равное: \( 4950 \) с дополнительным количеством \( R + 4950 = 9900 \).
Следовательно:
Минимальное количество шариков, которое может лежать суммарно во всех коробках, равно 9900.
