В одной комнате собрались 5 девочек: Аня, Белла, Вера, Галя и Даша — и подсчитали количество съеденных ими за неделю конфет. Оказалось, что если из комнаты выйдет Аня, то среднее арифметическое количества съеденных за неделю конфет четырёх оставшихся девочек будет равно 64. Аналогично без Беллы это число будет равно 52, без Веры — 46, без Гали — 60, без Даши — 58. сколько конфет съела девочка? Как зовут девочку которая съела больше всего конфет за эту неделю?
Обозначим количество конфет, съеденных каждой из девочек, следующим образом:
- A – конфеты Ани,
- B – конфеты Беллы,
- V – конфеты Веры,
- G – конфеты Гали,
- D – конфеты Даши.
Из условия задачи мы знаем:
Когда Аня выходит, среднее количество конфет у 4 оставшихся девочек равно 64: \[ \frac{B + V + G + D}{4} = 64 \implies B + V + G + D = 256. \]
Когда Белла выходит, среднее количество конфет у 4 оставшихся девочек равно 52: \[ \frac{A + V + G + D}{4} = 52 \implies A + V + G + D = 208. \]
Когда Вера выходит, среднее количество конфет у 4 оставшихся девочек равно 46: \[ \frac{A + B + G + D}{4} = 46 \implies A + B + G + D = 184. \]
Когда Галя выходит, среднее количество конфет у 4 оставшихся девочек равно 60: \[ \frac{A + B + V + D}{4} = 60 \implies A + B + V + D = 240. \]
Когда Даша выходит, среднее количество конфет у 4 оставшихся девочек равно 58: \[ \frac{A + B + V + G}{4} = 58 \implies A + B + V + G = 232. \]
Теперь у нас есть система из пяти уравнений:
- \( B + V + G + D = 256 \) (u1)
- \( A + V + G + D = 208 \) (u2)
- \( A + B + G + D = 184 \) (u3)
- \( A + B + V + D = 240 \) (u4)
- \( A + B + V + G = 232 \) (u5)
Теперь будем анализировать уравнения.
Из (u1) выразим D: \[ D = 256 - B - V - G. \]
Подставим это значение D в (u2): \[ A + V + G + (256 - B - V - G) = 208 \\ A + 256 - B = 208 \\ A - B = -48 \\ A = B - 48. \quad \text{(уравнение 6)} \]
Теперь подставим D в (u3): \[ A + B + G + (256 - B - V - G) = 184 \\ A + 256 - V = 184 \\ A - V = -72 \\ A = V - 72. \quad \text{(уравнение 7)} \]
Теперь подставим D в (u4): \[ A + B + V + (256 - B - V - G) = 240 \\ A + 256 - G = 240 \\ A - G = -16 \\ A = G - 16. \quad \text{(уравнение 8)} \]
Теперь подставим D в (u5): \[ A + B + V + G = 232. \]
Теперь мы можем подставлять уравнения (6), (7) и (8):
Подставим уравнение (6) в (7): \[ B - 48 = V - 72 \\ B = V - 24. \quad \text{(уравнение 9)} \]
Подставим (7) в (8): \[ V - 72 = G - 16 \\ G = V - 56. \quad \text{(уравнение 10)} \]
Теперь подставим (9) и (10) в u1: \[ (V - 24) + V + (V - 56) + D = 256 \\ 3V - 80 + D = 256 \\ D = 336 - 3V. \quad \text{(уравнение 11)} \]
Теперь подставим (11) в (2): \[ A + V + G + (336 - 3V) = 208 \\ A + V + (V - 56) + (336 - 3V) = 208 \\ A - V + 280 = 208 \\ A - V = -72 \implies A = V - 72. \text{(уравнение 7, все согласуется)} \]
Таким образом, мы имеем все уравнения и можем выразить 5 девочек через одну (например V):
- A = V - 72,
- B = V - 24,
- G = V - 56,
- D = 336 - 3V.
Теперь подставим все в одно из первых уравнений (например u1):
\[ (V - 24) + (V - 72) + (V - 56) + (336 - 3V) = 256. \] \[ V - 24 + V - 72 + V - 56 + 336 - 3V = 256, \] \[ 336 - 24 - 72 - 56 = 256. \] \[ 336 - 152 = 256. \]
Теперь посчитаем значение V: Соберём все:
- A = V - 72,
- B = V - 24,
- G = V - 56,
- D = 336 - 3V,
- V = V.
В итоге, подставив любое значение найденное откладывая по формуле , найдём :
Проверим уравнения, и уже увидим, что 336/4 = 84.
Значит,
- A = V
- B = 84 - 24 = 60,
- G = 84 - 56 = 28,
- A = 84 - 72 = 12,
- D = 84 - 28 = 56, соответственно.
А теперь, чтобы узнать, кто больше, всё проведя, видно, чтоьи это определяет 84 конфеты – значит Аня.
Таким образом, мы нашли все значения конфет и максимальную:
- Аня – 84 конфет,
- Белла – 60 конфет,
- Вера – 28 конфет,
- Галя – 28 конфет,
- Даша – 56, соответственно.
Таким образом: Аня съела больше всего конфет: 84 конфеты.
