X/x-2-8/x+5 =14/x²+3x-10

Для решения уравнения \(\frac{x}{x-2} - \frac{8}{x+5} = \frac{14}{x^2 + 3x - 10}\), давайте сначала упростим каждый элемент.

1. Заметим, что \(x^2 + 3x - 10\) можно разложить на множители. Найдём корни уравнения: \[ x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2) \] Таким образом, выражение \(\frac{14}{x^2 + 3x - 10}\) можно записать как: \[ \frac{14}{(x + 5)(x - 2)} \]

2. Теперь перепишем ваше уравнение: \[ \frac{x}{x - 2} - \frac{8}{x + 5} = \frac{14}{(x + 5)(x - 2)} \]

3. Умножим все слагаемые на общий знаменатель \((x - 2)(x + 5)\), чтобы избавиться от дробей: \[ x(x + 5) - 8(x - 2) = 14 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + 5x - 8x + 16 = 14 \] Упрощаем это уравнение: \[ x^2 - 3x + 16 = 14 \] Переносим 14 на левую сторону: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

4. Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 - 3x + 2 = 0\) с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим значения \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \]

5. Найдем два корня: \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]

6. Теперь проверим полученные корни на возможные ограничения. Подставив \(x = 2\) и \(x = 1\) в оригинальное уравнение, мы видим, что \(x = 2\) делает знаменатель равным нулю \((x - 2)\). Поэтому корень \(x = 2\) не подходит. Корень \(x = 1\) является допустимым.

Итак, решение уравнения — это \(x = 1\).