Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также Володя заметил, что если сложить два любых разных числа с листочка Анны, то получится одно из чисел Бориса. Затем Володя попросил каждого из ребят выбрать одно из трёх записанных ими чисел и назвать его. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. А Борис назвал число 50. Какое число назвала Анна?

Для решения этой задачи начнем с анализа условий.

1. Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа. Обозначим числа Анны как \(A_1, A_2, A_3\), а числа Бориса как \(B_1, B_2, B_3\).

2. На листочках ровно одно общее число. Пусть общее число будет \(x\). Таким образом, у Анны есть два числа, отличные от \(x\): \(A_1 = x\), \(A_2\) и \(A_3\), а у Бориса два числа, отличные от \(x\): \(B_1 = x\), \(B_2\) и \(B_3\).

3. Если сложить два любых разных числа с листочка Анны, то получится одно из чисел Бориса. Это значит, что: \[ A_2 + A_3 = B_i \quad (i = 1, 2, 3) \]

4. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. Это означает, что: \[ A_j = \frac{1}{3} B_k \quad (j \text{ — одно из } 2 \text{ оставшихся чисел Анны, } k \text{ — одно из } 2 \text{ оставшихся чисел Бориса}) \]

5. Борис назвал число 50. Следовательно, одно из чисел Бориса – это 50, а значит: \[ A_j = \frac{1}{3} \cdot 50 = \frac{50}{3} \text{ не является целым числом.} \]

   Теперь предположим, что \(B_2 = 50\). Тогда: \[ A_j = \frac{1}{3} \cdot 50 \text{ не подходит.} \] Попробуем рассмотреть \(B_1\). Пусть \(B_1 = 2 \cdot 50 = 100\) (другой вариант).

6. Теперь, если \(B_2 = 50\), мы можем определить \(A_2 + A_3 = 50\) и исходя из этого выражения составить ситуации: \[ A_2 + A_3 = 50 \]

7. Если \(A_j = \frac{1}{3} B_k\), предполагаем, что \(B_k = 100\): \[ A_j = \frac{100}{3} \text{ также не целое.} \]

8. Наконец, обратим внимание на единственное целое целое число, которое могло бы соответствовать 50 – это 25: \[ A = 25 \]

Таким образом, число, которое назвала Анна, равно 25.