Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также Володя заметил, что если сложить два любых разных числа с листочка Анны, то получится одно из чисел Бориса. Затем Володя попросил каждого из ребят выбрать одно из трёх записанных ими чисел и назвать его. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. А Борис назвал число 50. Какое число назвала Анна?

Решим задачу шаг за шагом.

1. Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа, и у них между собой есть только одно общее число. Обозначим числа Анны как \(A_1, A_2, A_3\), а числа Бориса как \(B_1, B_2, B_3\). Пусть общее число будет \(x\).

2. В условии сказано, что сумма любых двух разных чисел с листочка Анны дает одно из чисел Бориса. Это означает, что:

   • \(A_1 + A_2 = B_i\) (где \(B_i\) — одно из чисел Бориса)
   • \(A_1 + A_3 = B_j\)
   • \(A_2 + A_3 = B_k\)

3. Далее, Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса, а Борис назвал число 50. Это значит, что одно из чисел Бориса (допустим \(B_1\)) равно 50, и тогда \(A_i = \frac{50}{3}\). Однако, так как \(A_i\) должен быть целым числом, нам нужно убедиться, что 50 делится на 3, что не так. Следовательно, это не число Бориса, на основании которого мы можем найти число Анны.

4. Теперь проверим возможные комбинации. Если 50 является суммой двух различных чисел Анны, то возможно:

   • Например, предположим, что \(A_1 + A_2 = 50\). Это возможности чисел Анны должны быть меньше 50 и целыми.
   • Пусть \(x\) — общее число. Поскольку сумма \(A_1 + A_2\) должна быть равна одному из следующих: \(B_1\), \(B_2\) или \(B_3\).

5. Проверим, может ли у нас быть \(B_1 = 50\) так, чтобы \(x\) оставалось единым числом.

   Подходящие пары \(A_1\) и \(A_2\) будут такими, что: \[ A_3 = x \] Тогда: \[ 50 - x \text{ (число Анны) по сути должно быть 3 раза меньше чисел Бориса.} \]

   Если \(B_1 = 50\), \(B_2\) и \(B_3\) могут быть, например, 52 и 53 (не забываем о четкости, что все числа различны).

6. Следовательно, количество, которое назвала Анна, даёт следующее:

Если \[ A_3 = x \] и если \(A_1 + A_2 = 50\), то \[ A_i = x \text{ (общее),} \] из расчета,

Второй вариант подбора может привести к:

• \(A_1 = 20, A_2 = 30\), где тогда возможно \[ x = 10 \]

Таким образом, возможное число, которое могла назвать Анна, это \(x = 10\), и его можно будет также удостоверить через другие число.

Итак, ответ: 10.