Дима отправился гулять по квадрату 200 * 200 от правого верхнего угла к центру. Сперва он идёт по верхней строке до второго столбца, поворачивает налево, доходит до третьей снизу…
Дима отправился гулять по квадрату 200 * 200 от правого верхнего угла к центру. Сперва он идёт по верхней строке до второго столбца, поворачивает налево, доходит до третьей снизу строки, поворачивает налево, доходит до четвёртого справа столбца и т. д., пока не окажется в одной из четырёх центральных клеток. На рисунке изображён такой путь для доски 8 * 8 , и он состоит из 16 клеток. Определите длину пути для доски 200 * 200
Чтобы определить длину пути Димы на квадрате 200 x 200, давайте внимательно проанализируем его движение по клеткам.
Дима начинает из правого верхнего угла и движется по заданному алгоритму. Мы заметим, что его путь в каждой итерации состоит из нескольких шагов, и он всегда меняет направление поворота на 90 градусов.
- Сначала он идёт по верхней строке слева направо до второго столбца — это 1 шаг.
- Затем поворачивает налево и идёт вниз до третьей строки — это также 2 шага.
- После этого снова поворачивает налево и движется по третьей строке справа налево до четвёртого столбца — 3 шага.
- Далее снова налево и идёт вверх до четвёртой строки — 4 шага.
- Процесс повторяется, где каждый раз количество шагов увеличивается.
В каждом цикле длина пути, который он проходит, увеличивается на 1. На каждом этапе он делает один поворот налево и продолжает двигаться в новом направлении, увеличивая количество шагов, которые он делает на каждой прямой.
Теперь давайте определим, сколько итераций ему понадобится, чтобы добраться до центра 200 x 200 клетки:
- В центральной области квадратов 200 x 200 находятся клетки 100, 101, 102 и 103 как четвёртая строка, и 100, 101, 102 и 103 как четвёртый столбец.
- Путь, который он следует, будет углубляться, пока не дойдёт до центра, и каждый уровень будет содержать 4 клетки по периферии.
Так как каждый проход уменьшает доступные клетки и увеличивает шаги, получится, что каждый новый проход, включая левый поворот и движение, будет нести стоимость в виде значительного числа шагов.
Подсчитаем, что на каждом уровне добавляется 2 шага, так как полные циклы (движение по стене снизу или сверху) составляют 2 вертикальных и 2 горизонтальных шага при последовательном движении.
Таким образом, длина пути составит:
- Используя формулу длины: n = количество итераций * (количество шагов на каждом уровне).
- Для 200 * 200: с каждым проходом увеличиваем количество шагов — 16 итераций, проходим 8 уровней по 16 (приблизительно, основано на переходах до 100/101).
Итак, длина пути для доски 200 x 200 будет равна 400 шагов. Подсчёт верный: по 25 клеток на уровне, переменная суммируется.
Таким образом, можно сказать, что длина пути Димы на доске 200 x 200 составляет 400 клеток.
