Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 98 до 111. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?

Чтобы решить эту задачу, давайте проанализируем, какие шкафчики реагируют на числа, которые произносит Барабашка. Шкафчики имеют номера от 98 до 111. Они подпрыгнут, если вызываемое число делит номер шкафчика нацело.

1. Сначала определим номера шкафчиков, которые нас интересуют:

   • 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111.

2. Теперь нужно понять, какое число вызывает реакцию. Это число должно быть таким, чтобы ни один шкафчик не подпрыгнул. Это произойдет, когда число больше любого из номеров шкафчиков (в нашем случае больше 111) или когда оно не делится на ни один из номеров шкафчиков от 98 до 111.

3. Определим минимальное число, для которого ни один шкафчик не подпрыгнет. Это будет число, большее 111, например, 112. Как только Барабашка назовет 112, ни один шкафчик не будет реагировать.

4. Теперь давайте выясним, какой шкафчик подпрыгнул наибольшее количество раз. Каждый шкафчик подпрыгнет, если номер шкафчика делится на произнесенное число. То есть необходимо подсчитать количество делителей (чисел, на которые делится номер шкафа) для каждого шкафа.

Например:

• Для 98: делители - 1, 2, 7, 14, 49, 98 (6 раз).
• Для 99: делители - 1, 3, 9, 11, 33, 99 (6 раз).
• Для 100: делители - 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 (9 раз).
• Для 101: делители - 1, 101 (2 раза).
• Для 102: делители - 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102 (8 раз).
• Для 103: делители - 1, 103 (2 раза).
• Для 104: делители - 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104 (8 раз).
• Для 105: делители - 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 (8 раз).
• Для 106: делители - 1, 2, 53, 106 (4 раза).
• Для 107: делители - 1, 107 (2 раза).
• Для 108: делители - 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108 (12 раз).
• Для 109: делители - 1, 109 (2 раза).
• Для 110: делители - 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110 (8 раз).
• Для 111: делители - 1, 3, 37, 111 (4 раза).

Теперь рассмотрим результаты:

• Наибольшее количество раз подпрыгнул шкафчик с номером 108, который откликнулся 12 раз.

Подводя итог, Барабашка остановился на числе 112, а шкафчик с номером 108 подпрыгнул наибольшее количество раз.