Из деревни в город с постоянной скоростью выехал грузовик. Когда он проехал 42 км, из деревни по той же дороге с постоянной скоростью выехал автомобиль. Когда автомобиль проехал 30 км, грузовик находился на расстоянии 65 км от деревни. Найдите расстояние от деревни до города, если в город грузовик и автомобиль приехали одновременно. Ответ выразите в километрах.

Для решения задачи давайте обозначим некоторые переменные и использовать информацию, которую мы знаем.

Пусть:

• \( S \) — расстояние от деревни до города (в километрах).
• \( v_g \) — скорость грузовика (км/ч).
• \( v_a \) — скорость автомобиля (км/ч).

Исходя из условия задачи:

1. Грузовик проехал 42 км, когда автомобиль только выехал из деревни.
2. Затем, когда автомобиль проехал 30 км, грузовик был на расстоянии 65 км от деревни. Это значит, что грузовик проехал \( 42 + 65 = 107 \) км.

Теперь мы можем рассмотреть время, которое требуется каждому транспортному средству, чтобы доехать до города.

1. Время, за которое грузовик проехал 107 км: \[ t_g = \frac{107}{v_g} \]

2. Время, за которое автомобиль проехал 30 км: \[ t_a = \frac{30}{v_a} \]

Поскольку грузовик и автомобиль прибыли в город одновременно, мы можем написать равенство: \[ t_g = t_a \]

Также важно заметить, что грузовик проехал 107 км, а автомобиль проехал только 30 км, что означает, что грузовик выехал на \( t_a \) времени раньше: \[ t_g = t_a + t_д, \] где \( t_д \) — это время, за которое грузовик проехал 42 км.

Для грузовика это будет: \[ t_д = \frac{42}{v_g}. \]

Теперь мы можем выразить это равенство в одном уравнении: \[ \frac{107}{v_g} = \frac{30}{v_a} + \frac{42}{v_g}. \]

Упростим: \[ \frac{107}{v_g} - \frac{42}{v_g} = \frac{30}{v_a}, \] что даёт нам: \[ \frac{65}{v_g} = \frac{30}{v_a}. \]

Теперь выразим \( v_a \) через \( v_g \): \[ v_a = \frac{30 \cdot v_g}{65} = \frac{6}{13} v_g. \]

Теперь подставим значения скоростей в выражение для расстояния до города: \[ S = 107 + (t_a \cdot v_a) = 107 + \left(\frac{30}{v_a} \cdot v_a\right) = 107 + 30. \]

Таким образом: \[ S = 137 \text{ км}. \]

Ответ: расстояние от деревни до города составляет \( 137 \) километров.