Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 93 до 105. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?

Чтобы решить эту задачу, рассмотрим все шкафчики с номерами от 93 до 105. Мы начнем произносить натуральные числа по порядку, и шкафчики будут реагировать на каждое число, если их номер делится на это число.

Шкафчики имеют следующие номера: 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105.

Мы будем анализировать каждое произносимое число и отслеживать, какие шкафчики отреагируют.

1. Натуральный ряд: начнем с 1. Все шкафчики отреагируют на 1, так как любое число делится на 1.
2. Произносим 2: отреагируют шкафчики 94, 96, 98, 100, 102, 104.
3. Произносим 3: отреагируют шкафчики 93, 96, 99, 102, 105.
4. Произносим 4: отреагируют шкафчики 94, 96, 100, 104.
5. Произносим 5: отреагируют шкафчики 95, 100, 105.
6. Произносим 6: отреагируют шкафчики 96.
7. Произносим 7: не будет шкафчиков, так как ни один номер не делится на 7.
8. Произносим 8: не будет шкафчиков, так как ни один номер не делится на 8.

На этом этапе мы видим, что последние числа 6 и 7 приводили к тому, что некоторые шкафчики реагировали, а некоторые - нет. Таким образом, когда было произнесено число 7, ни один шкафчик не отреагировал.

Теперь, чтобы выяснить, какой шкафчик подпрыгнул наибольшее число раз, рассмотрим:

• Шкафчик 93: реагирует на 1, 3.
• Шкафчик 94: реагирует на 1, 2, 4.
• Шкафчик 95: реагирует на 1, 5.
• Шкафчик 96: реагирует на 1, 2, 3, 4, 6.
• Шкафчик 97: реагирует на 1.
• Шкафчик 98: реагирует на 1, 2.
• Шкафчик 99: реагирует на 1, 3.
• Шкафчик 100: реагирует на 1, 2, 4, 5, 10.
• Шкафчик 101: реагирует на 1.
• Шкафчик 102: реагирует на 1, 2, 3, 6.
• Шкафчик 103: реагирует на 1.
• Шкафчик 104: реагирует на 1, 2, 4, 8.
• Шкафчик 105: реагирует на 1, 3, 5.

Подсчитаем количество реакций для каждого шкафчика:

• 93: 2 раза.
• 94: 3 раза.
• 95: 2 раза.
• 96: 5 раз.
• 97: 1 раз.
• 98: 2 раза.
• 99: 2 раза.
• 100: 5 раз.
• 101: 1 раз.
• 102: 4 раза.
• 103: 1 раз.
• 104: 4 раза.
• 105: 3 раза.

Наибольшее количество раз подпрыгнули шкафчики 96 и 100 - по 5 раз.

Таким образом, число, на которое ни один шкафчик не среагировал, это 7. А шкафчики 96 и 100 подпрыгнули наибольшее число раз.