Дан треугольник ABC с углом B, равным 60∘. В точках A и C провели две касательные к описанной окружности ABC, пересекающиеся в точке P. Перпендикуляр к BC, восстановленный в точке C, пересекает прямую AB в точке Q. Найдите ∠CQP, если ∠BAC= 50°

Для решения данной задачи начнем с описания известной информации и необходимых прямых.

У нас есть треугольник ABC с углом B, равным 60°, и углом A, равным 50°. Это позволяет найти угол C:

\[ \angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 50° - 60° = 70°. \]

Теперь рассмотрим касательные к описанной окружности, проведенные из точек A и C. Эти касательные пересекаются в точке P. Так как PA и PC – касательные к окружности, то они равны между собой:

\[ PA = PC. \]

Также полезно заметить, что угол между касательной и хордой равен углу, опирающемуся на ту же дугу. Т.е. угол ∠APC будет равен сумме углов ∠ABC и ∠ACB:

\[ \angle APC = \angle ABC + \angle ACB = 60° + 70° = 130°. \]

Теперь рассмотрим перпендикуляр к стороне BC, проведенный из точки C, который пересекает прямую AB в точке Q. Угол ∠CQP будет углом между перпендикуляром и отрезком PQ.

Используя свойства углов, можно записать соотношение для угла CQP. Угол между касательной и перпендикуляром в точке касания равен 90°. Таким образом, в треугольнике CPQ у нас есть:

\[ \angle CQP + \angle PCQ = 90°. \]

Мы знаем, что угол PCQ равен углу APC, поскольку AD и CA касательные к окружности:

\[ \angle PCQ = 180° - 130° = 50°. \]

Итак, подставим это в полученное выражение:

\[ \angle CQP + 50° = 90°, \] откуда следует:

\[ \angle CQP = 90° - 50° = 40°. \]

Таким образом, угол ∠CQP равен 40°.