√7-3x=x+7
Для решения уравнения \( \sqrt{7 - 3x} = x + 7 \) давайте выполняем шаги по порядку.
Квадрат обеих сторон: Начнем с того, чтобы избавиться от квадратного корня. Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\[ 7 - 3x = (x + 7)^2 \]
Это дает нам:
\[ 7 - 3x = x^2 + 14x + 49 \]
Перенос всех членов на одну сторону: Переносим все члены на одну сторону уравнения для получения стандартного вида квадратного уравнения:
\[ 0 = x^2 + 14x + 49 + 3x - 7 \]
Упрощаем это:
\[ 0 = x^2 + 17x + 42 \]
Или
\[ x^2 + 17x + 42 = 0 \]
Решение квадратного уравнения: Теперь можно использовать формулу для решения квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = 17 \), \( c = 42 \).
Сначала находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 289 - 168 = 121 \]
Теперь подставим в формулу корней:
\[ x = \frac{-17 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-17 \pm 11}{2} \]
Это дает нам два решения:
\( x_1 = \frac{-17 + 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
\( x_2 = \frac{-17 - 11}{2} = \frac{-28}{2} = -14 \)
Проверка решений: Теперь нам нужно убедиться, что оба корня подходят для изначального уравнения, поскольку мы возводили в квадрат.
Для \( x = -3 \):
\[ \sqrt{7 - 3(-3)} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4 \]
\[ -3 + 7 = 4 \quad \text{(истинно)} \]
Для \( x = -14 \):
\[ \sqrt{7 - 3(-14)} = \sqrt{7 + 42} = \sqrt{49} = 7 \]
\[ -14 + 7 = -7 \quad \text{(ложно)} \]
Таким образом, единственным решением уравнения является \( x = -3 \).
