Дорога от турбазы до пристани занимает у группы туристов 16 минут. Но по дороге кто-то вспомнил, что они забыли у ворот турбазы мяч. Если туристы продолжат путь с той же скоростью, то придут на пристань за 5 минут до отправления катера. А если дождутся, пока один из них, идя с той же скоростью, вернется за мячом, потом снова придет к ним, и после этого продолжат свой путь также с прежней скоростью, то опоздают ко времени отправления катера на 3 минуты. Сколько процентов пути прошли туристы до того, как вспомнили о забытом мяче?

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим некоторые переменные.

1. Пусть \( T \) — общее время, которое требуется группе туристов, чтобы добраться от турбазы до пристани, в минутах. Из условия задачи известно, что \( T = 16 \) минут.
2. Пусть \( S \) — скорость движения туристов (расстояние за минуту).
3. Пусть \( D \) — расстояние от турбазы до пристани. Таким образом, \( D = S \times T = S \times 16 \).

Теперь разберемся с ситуацией, когда туристы вспоминают о мяче. Если они продолжают идти с той же скоростью, то придут на пристань за 5 минут до отправления катера:

• Если туристы идут к пристани, не возвращаясь за мячом, то они доберутся за 16 минут.
• Это значит, что к моменту отправления катера должно пройти \( 16 + 5 = 21 \) минут.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда один из туристов возвращается за мячом. Допустим, туристу нужно \( x \) минут, чтобы вернуться к воротам за мячом, а потом вернуться к остальным. После этого они продолжат путь к пристани.

Когда один идет за мячом, они опоздают на 3 минуты к времени отправления катера:

• Время в пути будет составлять \( x + (16 - (x + 3)) \), так как они потратят \( x \) на поход за мячом и \( 16 - (x + 3) \) на оставшийся путь, что в сумме даст \( 16 + x - 3 = 19 + x \).
• Поскольку они опаздывают на 3 минуты, значит, пора прошло 21 минуту: \[ 19 + x = 21 \Rightarrow x = 2. \]

Таким образом, туристу нужно 2 минуты на дорогу в одну сторону. Это значит, что, пока он возвращается и идет обратно, общее время, которое они потратят, составит:

1. Время возвращения к турбазе: 2 минуты.
2. Время обратно к группе: 2 минуты.
3. Время на оставшийся путь: \( 16 - (2 + 2) = 12 \) минут.

Общее время в этом случае составит \( 2 + 2 + 12 = 16 \) минут.

Теперь можем найти время, которое группа шла до того, как вспомнила о мяче. Если они вспомнили о мяче через \( t \) минут, тогда общее время составит:

1. Время до момента, когда они вспомнили о мяче \( t \).
2. Время, чтобы вернуться за мячом (2 минуты).
3. Время, чтобы дойти обратно (2 минуты).
4. Оставшееся время до пристани (12 минут).

Также известно, что до этого момента они успели пройти достаточную часть пути, чтобы успеть к катеру. Мы знаем, что, к моменту отправления катера, оставшееся время составляет:

Обобщая, мы имеем:

\[ t + 2 + 2 + 12 = 21 \Rightarrow t + 16 = 21 \Rightarrow t = 5 \text{ минут.} \]

Теперь мы можем вычислить, сколько процентов пути они прошли, прежде чем вспомнили о мяче. Если полное время в пути составляет 16 минут, и они шли 5 минут, то:

\[ \text{Процент пройденного пути} = \frac{t}{16} \times 100\% = \frac{5}{16} \times 100\% \approx 31.25\%. \]

Таким образом, туристы прошли примерно 31.25% пути до того, как вспомнили о мяче.