Чтобы определить, сколько раз отличаются кинетическая и потенциальная энергия пружинного маятника в момент времени, когда смещение из положения равновесия составляет ( x = \frac{3}{5}A ), необходимо использовать формулы для кинетической и потенциальной энергии.
Потенциальная энергия пружины определяется по формуле:
[
U = \frac{1}{2} k x^2
]
где ( k ) – коэффициент жесткости пружины, а ( x ) – смещение от положения равновесия.
Кинетическая энергия маятника определяется по формуле:
[
K = \frac{1}{2} m v^2
]
где ( m ) – масса тела, а ( v ) – скорость в момент времени ( t ).
Согласно законам гармонического движения, когда маятник перемещается, его максимальные смещения и скорости можно выразить через амплитуду колебаний ( A ):
Смещение ( x = \frac{3}{5}A ) дает нам:
[
U = \frac{1}{2} k \left(\frac{3}{5} A\right)^2 = \frac{1}{2} k \cdot \frac{9}{25} A^2 = \frac{9}{50} k A^2
]
Теперь необходимо найти скорость ( v ) в этот момент. Общая механическая энергия ( E ) системы остается постоянной и равна сумме кинетической и потенциальной энергии:
[
E = K + U
]
Максимальная потенциальная энергия маятника (при максимальном смещении ( A )):
[
E = \frac{1}{2} k A^2
]
Следовательно, подставляя ( U ):
[
\frac{1}{2} k A^2 = K + \frac{9}{50} k A^2
]
Отсюда можем выразить кинетическую энергию ( K ):
[
K = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{9}{50} k A^2
]
Найдем на общую дробь:
[
K = \left(\frac{25}{50} k A^2 - \frac{9}{50} k A^2\right) = \frac{16}{50} k A^2 = \frac{8}{25} k A^2
]
Теперь сравним ( K ) и ( U ):
[
\frac{U}{K} = \frac{\frac{9}{50} k A^2}{\frac{8}{25} k A^2} = \frac{9/50}{8/25} = \frac{9}{(8 \cdot 2)} = \frac{9}{16}
]
Таким образом, потенциальная энергия меньше кинетической энергии в (\frac{9}{16}) раз.
Итак, кинетическая и потенциальная энергия пружины отличаются в момент времени, когда смещение из положения равновесия составляет ( x = \frac{3}{5}A ), в (\frac{9}{16}) раз.
