X^3-3x^2+6x+3=0 метод хорд
Для решения уравнения \(x^3 - 3x^2 + 6x + 3 = 0\) с использованием метода хорд, начнем с нахождения двух точек, которые будут служить концами хорд.
Выбор начальных значений: Найдем значения функции \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 6x + 3\) для разных \(x\). Например, подберем \(x_0 = 0\) и \(x_1 = 2\):
\[ f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 + 3 = 3 \]
\[ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 + 3 = 8 - 12 + 12 + 3 = 11 \]
Так как \(f(0) > 0\) и \(f(2) > 0\), попробуем более широкий диапазон. Проверим \(x = -1\) и \(x = 1\):
\[ f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1) + 3 = -1 - 3 - 6 + 3 = -7 \]
\[ f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 3 = 1 - 3 + 6 + 3 = 7 \]
Теперь у нас есть точки \((-1, -7)\) и \((1, 7)\). В этом интервале функция меняет знак, следовательно, есть корень.
Метод хорд: Мы будем использовать формулу для нового приближения:
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n) (x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})} \]
Подставим \(x_0 = -1\) и \(x_1 = 1\):
\[ f(x_0) = f(-1) = -7 \] \[ f(x_1) = f(1) = 7 \]
Теперь находим \(x_2\):
\[ x_2 = 1 - \frac{7(1 - (-1))}{7 - (-7)} = 1 - \frac{7 \cdot 2}{14} = 1 - 1 = 0 \]
Итерации: Теперь подставим \(x_2 = 0\) и используем его для следующей итерации.
\[ f(0) = 3 \]
Теперь \(x_3\):
\[ x_3 = 0 - \frac{3(0 - 1)}{3 - 7} = 0 - \frac{3 \cdot (-1)}{-4} = 0 - \frac{3}{4} = -0.75 \]
Продолжайте итерации до достижения нужной точности. Каждый раз проверяйте знаки функции \(f(x_n)\) для определения, где находится корень.
Таким образом, методом хорд можно найти корень уравнения \(x^3 - 3x^2 + 6x + 3 = 0\) с повышением точности в процессе итераций. Если возникнут какие-либо вопросы по шагам или методе, смело спрашивайте!
