В урне находится 5 красных 3 синих шара. из урны последовательно вытягиваются 2 шара без возвращения. Какова вероятность того что оба шара будут одного цвета?
Чтобы найти вероятность того, что оба шара, вытянутые из урны, будут одного цвета, давайте для начала определим общее количество шаров и количество благоприятных исходов.
В урне у нас есть:
- 5 красных шаров
- 3 синих шара
Итого: \(5 + 3 = 8\) шаров.
Мы будем рассматривать два случая: оба шара красные и оба шара синие.
Вероятность того, что оба шара красные:
- Вероятность того, что первый шар будет красным: \(\frac{5}{8}\)
- После того, как мы вытянули один красный шар, в урне остается 4 красных и всего 7 шаров. Вероятность того, что второй шар также будет красным: \(\frac{4}{7}\)
Таким образом, вероятность того, что оба шара красные: \[ P(\text{оба красные}) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \]
Вероятность того, что оба шара синие:
- Вероятность того, что первый шар будет синим: \(\frac{3}{8}\)
- После того, как мы вытянули один синий шар, в урне остается 2 синих и всего 7 шаров. Вероятность того, что второй шар также будет синим: \(\frac{2}{7}\)
Таким образом, вероятность того, что оба шара синие: \[ P(\text{оба синие}) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28} \]
Теперь найдем общую вероятность того, что оба шара будут одного цвета, сложив вероятности двух случаев: \[ P(\text{одного цвета}) = P(\text{оба красные}) + P(\text{оба синие}) = \frac{5}{14} + \frac{3}{28} \]
Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Знаменатель 28: \[ \frac{5}{14} = \frac{10}{28} \] Таким образом, \[ P(\text{одного цвета}) = \frac{10}{28} + \frac{3}{28} = \frac{13}{28} \]
Таким образом, вероятность того, что оба шара будут одного цвета, равна \(\frac{13}{28}\).
