Дано: → m = 2 → a − → b + → c → n = → a − 2 → b ; | → a | = 3 , | → b | = 2 ; | −−→ a ; b | = 60 ∘ → c ⊥ → a , → c ⊥ → b Найти: → m ⋅ → n

Чтобы найти скалярное произведение векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\), начнем с определения самих векторов. У нас есть:

\[ \vec{m} = 2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} \] \[ \vec{n} = \vec{a} - 2\vec{b} \]

Также даны следующие характеристики векторов:

• \(|\vec{a}| = 3\)
• \(|\vec{b}| = 2\)
• Угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(60^\circ\)

Сначала найдем \(\vec{c}\). Из условия следует, что \(\vec{c}\) перпендикулярен \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Чтобы найти \(|\vec{c}|\), используем факт, что длина \(\vec{c}\) не указана, но мы можем обозначить её как \(c\).

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение \(\vec{m} \cdot \vec{n}\):

\[ \vec{m} \cdot \vec{n} = (2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) \]

Распределим скалярное произведение:

\[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 2\vec{a} \cdot \vec{a} - 4\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + 2\vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{a} - 2\vec{c} \cdot \vec{b} \]

Теперь подставим известные значения:

1. \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 3^2 = 9\)
2. \(\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 2^2 = 4\)
3. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(60^\circ) = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3\)

Теперь можем подставить все значения:

\[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 9 - 4 \cdot 3 - 3 + 2 \cdot 4 + \vec{c} \cdot \vec{a} - 2\vec{c} \cdot \vec{b} \]

Упрощаем:

\[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 18 - 12 - 3 + 8 + \vec{c} \cdot \vec{a} - 2\vec{c} \cdot \vec{b} \] \[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 11 + \vec{c} \cdot \vec{a} - 2\vec{c} \cdot \vec{b} \]

Теперь, так как \(\vec{c} \perp \vec{a}\) и \(\vec{c} \perp \vec{b}\), то:

\(\vec{c} \cdot \vec{a} = 0\)

и

\(\vec{c} \cdot \vec{b} = 0\).

Поэтому:

\[ \vec{c} \cdot \vec{a} - 2\vec{c} \cdot \vec{b} = 0 \]

Таким образом,

\[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 11 + 0 = 11. \]

Ответ:

\[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 11. \]