Дано: куб A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 , D M = M D 1 . Найти: угол между прямыми A D 1 , B M . Подсказка

Для решения задачи о нахождении угла между прямыми \(AD_1\) и \(BM\) в заданном кубе, начнем с определения координат всех точек.

Пусть куб задан координатами:

• \(A(0, 0, 0)\)
• \(B(1, 0, 0)\)
• \(C(1, 1, 0)\)
• \(D(0, 1, 0)\)
• \(A_1(0, 0, 1)\)
• \(B_1(1, 0, 1)\)
• \(C_1(1, 1, 1)\)
• \(D_1(0, 1, 1)\)

Теперь определим точки \(D\) и \(M\):

• Точка \(D\) у нас есть: \(D(0, 1, 0)\).
• Точка \(M\) — это центр грани \(D_1\). Поскольку \(D_1\) имеет координаты \(D_1(0, 1, 1)\), то \(M\) будет находиться по уравнению: \[ M = D_1 = (0, 1, 1) \]

Теперь определим векторы прямых \(AD_1\) и \(BM\):

1. Для вектора \(AD_1\): \[ \overrightarrow{AD_1} = D_1 - A = (0, 1, 1) - (0, 0, 0) = (0, 1, 1) \]

2. Для вектора \(BM\): \[ \overrightarrow{BM} = M - B = (0, 1, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 1) \]

Теперь найдем угол между двумя векторами. Угол \(\theta\) можно найти с использованием скалярного произведения векторов: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{BM}}{|\overrightarrow{AD_1}| \cdot |\overrightarrow{BM}|} \]

Теперь расчет скалярного произведения: \[ \overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{BM} = (0, 1, 1) \cdot (-1, 1, 1) = 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1 + 1 = 2 \]

Теперь найдем длины векторов: \[ |\overrightarrow{AD_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{BM}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \]

Подставим значения в формулу для косинуса угла: \[ \cos(\theta) = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} \] Упрощаем: \[ \cos(\theta) = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]

Теперь можем найти угол \(\theta\): \[ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \]

Таким образом, угол между прямыми \(AD_1\) и \(BM\) равен \(\arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\).