Дано: → a , → b ; | → a | = 6 ; | → b | = 3 , ( → a → b ) = 120 ° . Найдите: | → a + 2 → b | .
Давайте решим задачу шаг за шагом. Мы имеем два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), длины которых известны:
\[ |\vec{a}| = 6, \quad |\vec{b}| = 3 \]
Также задан угол между векторами:
\[ (\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ \]
Нам нужно найти длину вектора \(|\vec{a} + 2\vec{b}|\).
Для начала, воспользуемся формулой для нахождения длины суммы двух векторов:
\[ |\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\theta)} \]
В нашем случае:
- \(\vec{u} = \vec{a}\)
- \(\vec{v} = 2\vec{b}\)
Так как длина \(2\vec{b}\) равна \(2|\vec{b}| = 2 \times 3 = 6\).
Теперь вычислим угол между векторами \(\vec{a}\) и \(2\vec{b}\). Поскольку угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) составляет \(120^\circ\), угол между \(\vec{a}\) и \(2\vec{b}\) также составит \(120^\circ\) (угол напрямую не меняется при умножении на скаляр).
Теперь подставим в формулу:
\[ |\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |2\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||2\vec{b}|\cos(120^\circ)} \]
Значения подставляем:
\[ |\vec{a}|^2 = 6^2 = 36, \quad |2\vec{b}|^2 = 6^2 = 36, \quad \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \]
Теперь подставим всё это в формулу:
\[ |\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{36 + 36 + 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \]
Это упростится до:
\[ |\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{36 + 36 - 36} = \sqrt{36} = 6 \]
Таким образом, длина вектора \(|\vec{a} + 2\vec{b}|\) равна:
\[ \boxed{6} \]
