Решите неравенство (3-x)(x-4)(x-9)²≥0
Чтобы решить неравенство \((3-x)(x-4)(x-9)²≥0\), начнём с нахождения нулевых точек уравнения, при которых выражение слева равно нулю.
Шаг 1: Нулевые точки
- \(3 - x = 0 \Rightarrow x = 3\)
- \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)
- \((x - 9)² = 0 \Rightarrow x = 9\)
Таким образом, нулевые точки: \(x = 3\), \(x = 4\), \(x = 9\).
Шаг 2: Интервалы Разделим числовую ось на интервалы, основываясь на найденных точках:
- \( (-\infty, 3) \)
- \( (3, 4) \)
- \( (4, 9) \)
- \( (9, +\infty) \)
Шаг 3: Определение знака выражения на интервалах Теперь проверим знак выражения \((3-x)(x-4)(x-9)²\) в каждом из интервалов.
На интервале \((-∞, 3)\):
- Пусть \(x = 0\): \((3-0)(0-4)(0-9)² = (3)(-4)(81) < 0\) (отрицательный)
На интервале \((3, 4)\):
- Пусть \(x = 3.5\): \((3-3.5)(3.5-4)(3.5-9)² = (-0.5)(-0.5)(30.25) > 0\) (положительный)
На интервале \((4, 9)\):
- Пусть \(x = 5\): \((3-5)(5-4)(5-9)² = (-2)(1)(16) < 0\) (отрицательный)
На интервале \((9, +∞)\):
- Пусть \(x = 10\): \((3-10)(10-4)(10-9)² = (-7)(6)(1) < 0\) (отрицательный)
Шаг 4: Составление решения Теперь суммируем полученные результаты:
- \((-∞, 3)\) – отрицательный
- \((3, 4)\) – положительный
- \((4, 9)\) – отрицательный
- \((9, +∞)\) – отрицательный
Значит, неравенство выполняется на интервале \((3, 4)\) и в точке \(x = 3\), так как в данной точке выражение равно нулю. Точка \(x = 4\) также включает в себя, так как в ней выражение тоже равно нулю.
Ответ: Решение неравенства: \(x \in [3, 4]\).
