Вычислите ограниченной линиями: f(x)=8x3+6x2, y=0, x=1, x=4

Для вычисления площади, ограниченной графиком функции \(f(x) = 8x^3 + 6x^2\), осью \(y = 0\) и вертикальными линиями \(x = 1\) и \(x = 4\), нам нужно воспользоваться интеграцией.

Сначала найдем определенный интеграл функции от \(x = 1\) до \(x = 4\):

\[ S = \int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{4} (8x^3 + 6x^2) \, dx \]

Теперь рассчитаем интеграл:

1. Интегрируем каждое слагаемое: \[ \int (8x^3) \, dx = 2x^4 + C \] \[ \int (6x^2) \, dx = 2x^3 + C \]

Объединив результаты, получаем: \[ \int (8x^3 + 6x^2) \, dx = 2x^4 + 2x^3 + C \]

2. Теперь подставим пределы интегрирования: \[ S = \left[ 2x^4 + 2x^3 \right]_{1}^{4} \]

Вместо \(x\) подставляем сначала верхний предел \(4\): \[ S(4) = 2(4^4) + 2(4^3) = 2(256) + 2(64) = 512 + 128 = 640 \]

Теперь подставляем нижний предел \(1\): \[ S(1) = 2(1^4) + 2(1^3) = 2(1) + 2(1) = 2 + 2 = 4 \]

3. Найдем площадь между функцией и осью абсцисс: \[ S = S(4) - S(1) = 640 - 4 = 636 \]

Таким образом, площадь, ограниченная заданными линиями, равна \(636\).