Вычислите ограниченной линиями: f(x)=8x3+6x2, y=0, x=1, x=4. Решить столбиком как в тетради
Для решения задачи о вычислении определенного интеграла функции \( f(x) = 8x^3 + 6x^2 \) на ограниченном промежутке от \( x = 1 \) до \( x = 4 \), следуем следующим шагам.
Записываем определенный интеграл: \[ \int_{1}^{4} (8x^3 + 6x^2) \, dx \]
Находим неопределенный интеграл: Для этого интегрируем каждое слагаемое отдельно.
- Интеграл \( 8x^3 \): \[ \int 8x^3 \, dx = \frac{8}{4}x^4 = 2x^4 \]
- Интеграл \( 6x^2 \): \[ \int 6x^2 \, dx = \frac{6}{3}x^3 = 2x^3 \]
Теперь складываем полученные интегралы: \[ \int (8x^3 + 6x^2) \, dx = 2x^4 + 2x^3 + C \]
Подставляем пределы интегрирования: Теперь вычисляем определенный интеграл, подставляя верхний и нижний пределы: \[ \int_{1}^{4} (8x^3 + 6x^2) \, dx = \left[ 2x^4 + 2x^3 \right]_{1}^{4} \] Сначала подставляем верхний предел, \( x = 4 \): \[ 2(4)^4 + 2(4)^3 = 2 \cdot 256 + 2 \cdot 64 = 512 + 128 = 640 \] Затем подставляем нижний предел, \( x = 1 \): \[ 2(1)^4 + 2(1)^3 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 2 + 2 = 4 \]
Вычитаем результаты: Теперь находим разность значений: \[ \int_{1}^{4} (8x^3 + 6x^2) \, dx = 640 - 4 = 636 \]
Таким образом, значение интеграла равно \( 636 \).
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или нужна помощь с другой задачей, просто дайте знать!
