Вычислите вторую производную функции y=(x+1)/(2x+3)

Чтобы найти вторую производную функции \( y = \frac{x+1}{2x+3} \), начнем с первой производной.

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования дроби: если \( y = \frac{u}{v} \), то \( y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = x + 1 \) и \( v = 2x + 3 \).

1. Находим производные \( u' \) и \( v' \):

   • \( u' = 1 \) (производная \( x + 1 \))
   • \( v' = 2 \) (производная \( 2x + 3 \))

2. Теперь подставляем в формулу: \[ y' = \frac{(1)(2x + 3) - (x + 1)(2)}{(2x + 3)^2} \]

   Упростим числитель: \[ y' = \frac{2x + 3 - 2x - 2}{(2x + 3)^2} = \frac{1}{(2x + 3)^2} \]

Теперь найдем вторую производную \( y'' \).

Чтобы найти \( y'' \), снова используем правило дифференцирования дроби: \[ y' = \frac{1}{(2x + 3)^2} \] Здесь \( u = 1 \) и \( v = (2x + 3)^2 \). Сначала найдем \( v' \):

• \( v' = 2(2x + 3)(2) = 4(2x + 3) \)

Теперь применяем правило: \[ y'' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Так как \( u' = 0 \): \[ y'' = \frac{0 \cdot (2x + 3)^2 - 1 \cdot 4(2x + 3)}{(2x + 3)^4} \] \[ y'' = \frac{-4(2x + 3)}{(2x + 3)^4} \]

Упростим: \[ y'' = \frac{-4}{(2x + 3)^3} \]

Таким образом, вторая производная функции \( y = \frac{x+1}{2x+3} \) равна: \[ y'' = \frac{-4}{(2x + 3)^3} \]