1) предел стремится к бесконечности (x+6/x-13)^4x-9 2) предел стремится к нулю (2x/sin(3x^3-x))
Чтобы решить лимиты, которые вы предоставили, начнем с каждого предела по отдельности.
- Лимит \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 6}{x - 13}\right)^{4x - 9}\).
Для начала упростим выражение внутри предела: \[ \frac{x + 6}{x - 13} = \frac{x(1 + \frac{6}{x})}{x(1 - \frac{13}{x})} = \frac{1 + \frac{6}{x}}{1 - \frac{13}{x}}. \] При \(x \to \infty\), \(\frac{6}{x} \to 0\) и \(\frac{13}{x} \to 0\). Таким образом, \[ \frac{x + 6}{x - 13} \to \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1. \] Теперь рассмотрим предельное выражение: \[ \left(\frac{x + 6}{x - 13}\right)^{4x - 9} \to 1^{4x - 9}. \] Форма \(1^{\infty}\) требует дополнительного анализа. Для этого мы можем использовать логарифм: \[ y = \left(\frac{x + 6}{x - 13}\right)^{4x - 9}, \quad \ln(y) = (4x - 9) \ln\left(\frac{x + 6}{x - 13}\right). \] Теперь найдем предел: \[ \ln\left(\frac{x + 6}{x - 13}\right) = \ln\left(1 + \frac{19}{x - 13}\right) \approx \frac{19}{x - 13} \text{ при } x \to \infty. \] Следовательно, \[ \ln(y) = (4x - 9) \cdot \frac{19}{x - 13}. \] При \(x \to \infty\), это выражение стремится к \(0\), так как \((4x - 9)/(x - 13) \to 4\). Таким образом, \[ \ln(y) \to 4 \cdot 19 \to 76. \] Итак, \(y \to e^{76}\). Поэтому \[ \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 6}{x - 13}\right)^{4x - 9} = e^{76}. \]
- Лимит \(\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin(3x^3 - x)}\).
При \(x \to 0\), аргумент синуса также стремится к нулю, поэтому мы можем использовать малые углы, и у нас есть известное приближение: \(\sin(z) \approx z\) при \(z \to 0\).
Таким образом, \[ \sin(3x^3 - x) \approx 3x^3 - x. \] Теперь перепишем предел: \[ \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x^3 - x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{-x(1 - 3x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{-(1 - 3x^2)}. \] При \(x \to 0\), \(-(1 - 3x^2) \to -1\). Следовательно, \[ \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin(3x^3 - x)} = -2. \]
В результате мы имеем:
- \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 6}{x - 13}\right)^{4x - 9} = e^{76}\);
- \(\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin(3x^3 - x)} = -2\).
