tga/1-tg²a+ctga/1-ctg²a
Чтобы упростить выражение \( \frac{\tan a}{1 - \tan^2 a} + \frac{\cotg a}{1 - \cotg^2 a} \), начнем с каждого из дробей.
Рассмотрим первую часть: \( \frac{\tan a}{1 - \tan^2 a} \). Мы знаем, что \( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \) и \( \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \). Значит, \[ 1 - \tan^2 a = 1 - \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos^2 a}. \]
Теперь подставим это в дробь: \[ \frac{\tan a}{1 - \tan^2 a} = \frac{\frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos^2 a}} = \frac{\sin a \cdot \cos^2 a}{\cos a \cdot (\cos^2 a - \sin^2 a)} = \frac{\sin a \cdot \cos a}{\cos^2 a - \sin^2 a}. \]
Теперь рассмотрим вторую часть: \( \frac{\cotg a}{1 - \cotg^2 a} \). Похожим образом, \[ \cotg a = \frac{\cos a}{\sin a}, \quad \cotg^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}, \] и \[ 1 - \cotg^2 a = 1 - \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \frac{\sin^2 a - \cos^2 a}{\sin^2 a}. \]
Подставим это в дробь: \[ \frac{\cotg a}{1 - \cotg^2 a} = \frac{\frac{\cos a}{\sin a}}{\frac{\sin^2 a - \cos^2 a}{\sin^2 a}} = \frac{\cos a \cdot \sin^2 a}{\sin a \cdot (\sin^2 a - \cos^2 a)} = \frac{\cos a}{\sin a - \cos a}. \]
Теперь объединим эти две части: \[ \frac{\tan a}{1 - \tan^2 a} + \frac{\cotg a}{1 - \cotg^2 a} = \frac{\sin a \cdot \cos a}{\cos^2 a - \sin^2 a} + \frac{\cos a}{\sin a - \cos a}. \]
Обратите внимание, что дальнейшая работа с объединением этих дробей может быть немного сложной. Можно преобразовать их к общему знаменателю и упростить их, если есть необходимость. Если вы хотите продолжить упрощение, пожалуйста, сообщите.
