На какой высоте (в км) над поверхностью Земли ускорение свободного падения в 16 раз меньше, чем на земной поверхности? Радиус Земли 6400 км.
Чтобы определить высоту, на которой ускорение свободного падения в 16 раз меньше, чем на поверхности Земли, можно использовать формулу для ускорения свободного падения:
\[ g(h) = \frac{g_0 \cdot R^2}{(R + h)^2} \]
где:
- \( g(h) \) — ускорение свободного падения на высоте \( h \),
- \( g_0 \) — ускорение свободного падения на поверхности Земли (приблизительно 9.81 м/с²),
- \( R \) — радиус Земли (6400 км),
- \( h \) — высота над поверхностью Земли.
Поскольку ускорение свободного падения на высоте должно быть в 16 раз меньше, чем на поверхности, это можно записать как:
\[ g(h) = \frac{g_0}{16} \]
Теперь подставим это в формулу:
\[ \frac{g_0 \cdot R^2}{(R + h)^2} = \frac{g_0}{16} \]
Мы можем убрать \( g_0 \) из обеих сторон уравнения, что даст:
\[ \frac{R^2}{(R + h)^2} = \frac{1}{16} \]
Теперь умножим обе стороны на \( (R + h)^2 \):
\[ R^2 = \frac{(R + h)^2}{16} \]
Умножив обе стороны на 16, получим:
\[ 16R^2 = (R + h)^2 \]
Раскроем правую часть:
\[ 16R^2 = R^2 + 2Rh + h^2 \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ 15R^2 - 2Rh - h^2 = 0 \]
Это квадратное уравнение относительно \( h \). Применим формулу для решения квадратных уравнений:
\[ h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = -1 \), \( b = -2R \), \( c = 15R^2 \):
\[ h = \frac{2R \pm \sqrt{(-2R)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 15R^2}}{2 \cdot (-1)} \]
Упростим это:
\[ h = \frac{2R \pm \sqrt{4R^2 + 60R^2}}{-2} \] \[ h = \frac{2R \pm \sqrt{64R^2}}{-2} \] \[ h = \frac{2R \pm 8R}{-2} \]
Мы получаем два значения для \( h \):
- \( h = \frac{10R}{-2} = -5R \) (не имеет физического смысла, так как высота не может быть отрицательной)
- \( h = \frac{-6R}{-2} = 3R \) (это значение имеет физический смысл)
Теперь подставим значение радиуса Земли:
\[ h = 3 \cdot 6400 = 19200 \text{ км} \]
Итак, на высоте 19200 км над поверхностью Земли ускорение свободного падения будет в 16 раз меньше по сравнению с его значением на поверхности Земли.
