2.3.1. Докажите, что предикаты Р(х) – «Натуральное число х делится на 5» и Q(x) – «Десятичная запись натурального числа х оканчивается на 0 или на 5» равносильны. 2.3.2. Докажите, что предикат Q(x) – «Натуральное число х делится на 13» логически следует из предиката Р(х) – «Натуральное число х делится на 26».

Конечно! Давайте разберём ваши задачи по математической логике и числам.

2.3.1. Доказательство равносильности предикатов Р(х) и Q(x)

Предикаты:

• Р(х): «Натуральное число х делится на 5».
• Q(x): «Десятичная запись натурального числа х оканчивается на 0 или на 5».

Доказательство:

Для доказательства равносильности предикатов нужно показать, что каждый из них влечёт другой.

1. Р(х) ⇒ Q(x):

   • Если х делится на 5, то существует натуральное число k такое, что \(x = 5k\).
   • Если k чётное, то последний знак числа \(5k\) будет 0 (например, \(10, 20, 30, \ldots\)).
   • Если k нечётное, то последний знак будет 5 (например, \(5, 15, 25, \ldots\)).
   • Таким образом, в любом случае десятичная запись числа х оканчивается либо на 0, либо на 5. Это означает, что Q(x) верно.

2. Q(x) ⇒ Р(х):

   • Если десятичная запись числа х оканчивается на 0 или на 5, то это значит, что х можно представить в виде \(x = 10m\) (оканчивается на 0) или \(x = 10m + 5\) (оканчивается на 5), где m – натуральное число.
   • В любом случае, если x оканчивается на 0 или на 5, то x делится на 5. Это означает, что Р(х) верно.

Таким образом, мы доказали, что предикаты Р(х) и Q(x) равносильны.

2.3.2. Доказательство логической зависимости предикатов Р(х) и Q(x)

Предикаты:

• Р(х): «Натуральное число х делится на 26».
• Q(x): «Натуральное число х делится на 13».

Доказательство:

1. Предположим, что Р(х) верно:

   • Это значит, что существует натуральное число k такое, что \(x = 26k\).
   • Мы можем разложить 26 на множители: \(26 = 2 \cdot 13\).
   • Таким образом, \(x = 2 \cdot 13k\).

2. Следовательно:

   • Мы можем записать x в виде \(x = 13(2k)\).
   • Поскольку \(2k\) – натуральное число (при k натуральном), то получается, что x делится на 13.

Таким образом, мы можем заключить, что если Р(х) верно, то Q(x) также верно. Это подтверждает, что предикат Q(x) логически следует из предиката Р(х).

Теперь вы имеете полное доказательство обеих задач, и, надеюсь, это поможет вам в учёбе! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!