Решить квадратные неравенства дискриминантом и сделать график -5x2-15x_<0 5x2-20_>0 4x2+9<0 3x2-4x+4>0 4x2-5x+1<0

Давайте вместе решим эти квадратные неравенства, используя дискриминант, а затем построим графики.

1. Неравенство: \(-5x^2 - 15x < 0\)

Сначала преобразуем неравенство: \[ -5x^2 - 15x < 0 \quad \Rightarrow \quad 5x^2 + 15x > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 3x > 0 \] Находим корни уравнения \(x^2 + 3x = 0\): \[ x(x + 3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0, \quad x_2 = -3 \] Теперь определим промежутки, в которых неравенство выполняется. Рассмотрим знак выражения \(x(x + 3)\):

• Для \(x < -3\) (например, \(x = -4\)): \((-)(-) = (+)\)
• Для \(-3 < x < 0\) (например, \(x = -1\)): \((-)(+) = (-)\)
• Для \(x > 0\) (например, \(x = 1\)): \((+)(+) = (+)\)

Таким образом, неравенство выполняется для \(x \in (-\infty, -3) \cup (0, \infty)\).

2. Неравенство: \(5x^2 - 20 \geq 0\)

Перепишем: \[ 5(x^2 - 4) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4 \geq 0 \] Находим корни уравнения \(x^2 - 4 = 0\): \[ (x - 2)(x + 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 2, \quad x_2 = -2 \] Анализируем знак:

• Для \(x < -2\): \((-)(-) = (+)\)
• Для \(-2 < x < 2\): \((-)(+) = (-)\)
• Для \(x > 2\): \((+)(+) = (+)\)

Неравенство выполняется для \(x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)\).

3. Неравенство: \(4x^2 + 9 < 0\)

Поскольку \(4x^2 + 9\) всегда положительно (члены \(4x^2\) и \(9\) всегда больше нуля), это неравенство не имеет решения.

4. Неравенство: \(3x^2 - 4x + 4 > 0\)

Рассчитаем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 - 48 = -32 \] Поскольку \(D < 0\), данное квадратное уравнение не имеет реальных корней. Так как парабола открыта вверх, неравенство выполняется при всех \(x \in \mathbb{R}\).

5. Неравенство: \(4x^2 - 5x + 1 < 0\)

Находим дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{1}{4}, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{8} = 1 \] Анализируем знак:

• Для \(x < \frac{1}{4}\): \((+)\)
• Для \(\frac{1}{4} < x < 1\): \((-)\)
• Для \(x > 1\): \((+)\)

Неравенство выполняется для \(x \in \left(\frac{1}{4}, 1\right)\).

Графики

1. \(-5x^2 - 15x < 0\): Парабола, открытия вниз, пересекает ось x в точках \(-3\) и \(0\).
2. \(5x^2 - 20 \geq 0\): Парабола, открытия вверх, пересекает ось x в точках \(-2\) и \(2\).
3. \(4x^2 + 9 < 0\): Нет графика, так как нет решений.
4. \(3x^2 - 4x + 4 > 0\): Парабола, открытия вверх, всегда положительна.
5. \(4x^2 - 5x + 1 < 0\): Парабола, открытия вверх, отрицательна на интервале \(\left(\frac{1}{4}, 1\right)\).

Если вам нужно больше деталей по построению графиков или другим вопросам, не стесняйтесь спрашивать!