На балу присутствует не более 20 человек. они танцуют в парах( одна женщина и один мужчина). в настоящий момент танцуют 2/5 всех мужчин, 4/7 всех женьщин. сколько людей присутствует на балу

Давайте обозначим количество мужчин как \( m \) и количество женщин как \( w \). Из условия задачи у нас есть несколько уравнений.

1. Общее количество людей: \[ m + w \leq 20 \]

2. Число танцующих мужчин: \[ \frac{2}{5}m \]

3. Число танцующих женщин: \[ \frac{4}{7}w \]

Так как на балу пары танцуют по одной женщине и одному мужчине, количество танцующих мужчин должно быть равно количеству танцующих женщин: \[ \frac{2}{5}m = \frac{4}{7}w \]

Теперь давайте упростим это уравнение. Умножим обе стороны на 35 (наименьшее общее кратное 5 и 7), чтобы избавиться от дробей: \[ 35 \cdot \frac{2}{5}m = 35 \cdot \frac{4}{7}w \] \[ 14m = 20w \]

Теперь мы можем выразить \( m \) через \( w \): \[ m = \frac{20}{14}w = \frac{10}{7}w \]

Теперь подставим это значение в неравенство \( m + w \leq 20 \): \[ \frac{10}{7}w + w \leq 20 \] \[ \frac{10w + 7w}{7} \leq 20 \] \[ \frac{17w}{7} \leq 20 \] Умножаем обе стороны на 7: \[ 17w \leq 140 \] Делим на 17: \[ w \leq \frac{140}{17} \approx 8.24 \]

Так как количество женщин — целое число, максимальное возможное значение \( w = 8 \).

Теперь подставим \( w = 8 \) обратно, чтобы найти \( m \): \[ m = \frac{10}{7} \cdot 8 = \frac{80}{7} \approx 11.43 \]

Так как количество мужчин — тоже должно быть целым числом, необходимо проверить целые значения близкие к 11. Наилучшим целым значением будет \( m = 11 \).

Теперь, проверим условие: \[ m + w = 11 + 8 = 19 \quad (\text{≤ 20}) \]

Проверим количество танцующих:

• Танцующие мужчины: \[ \frac{2}{5} \cdot 11 = \frac{22}{5} = 4.4 \quad (\text{нецелое число}) \]

Такое значение не подходит. Попробуем \( w = 7 \): \[ m = \frac{10}{7} \cdot 7 = 10 \] Теперь: \[ m + w = 10 + 7 = 17 \quad (\text{≤ 20}) \]

Проверяем число танцующих:

• Танцующие мужчины: \[ \frac{2}{5} \cdot 10 = 4 \]
• Танцующие женщины: \[ \frac{4}{7} \cdot 7 = 4 \]

Таким образом, все условия выполнены. На балу присутствует: \[ 10 + 7 = 17 \quad \text{человек.} \]

Ответ: На балу присутствует 17 человек.