На балу присутствует не более 20 человек. они танцуют в парах( одна женщина и один мужчина). в настоящий момент танцуют 2/5 всех мужчин и 4/7 всех женщин.сколько людей присутствуют на балу
Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.
Обозначим количество мужчин за \(M\) и количество женщин за \(W\). По условию:
- На балу присутствует не более 20 человек: \(M + W \leq 20\).
- В данное время танцуют \( \frac{2}{5} \) всех мужчин, то есть \( \frac{2}{5}M \).
- Танцуют \( \frac{4}{7} \) всех женщин, то есть \( \frac{4}{7}W \).
Поскольку танцуют пары (один мужчина и одна женщина), количество танцующих мужчин равно количеству танцующих женщин:
\[ \frac{2}{5}M = \frac{4}{7}W. \]
Теперь решим это уравнение. Перепишем его:
\[ 2M \cdot 7 = 4W \cdot 5, \] что можно упростить до
\[ 14M = 20W. \]
Теперь выразим \(M\) через \(W\):
\[ M = \frac{20}{14}W = \frac{10}{7}W. \]
Теперь подставим это выражение в неравенство \(M + W \leq 20\):
\[ \frac{10}{7}W + W \leq 20. \]
Объединим \(W\):
\[ \frac{10}{7}W + \frac{7}{7}W = \frac{17}{7}W \leq 20. \]
Умножим обе стороны на 7:
\[ 17W \leq 140. \]
Теперь разделим на 17:
\[ W \leq \frac{140}{17} \approx 8.24. \]
Поскольку количество женщин должно быть целым числом, получаем \(W \leq 8\).
Теперь найдем количество мужчин, подставив \(W = 8\):
\[ M = \frac{10}{7} \cdot 8 = \frac{80}{7} \approx 11.43. \]
Так как количество мужчин также должно быть целым, пробуем целые значения для \(W\) от 1 до 8 и соответственно вычисляем \(M\).
После вычислений для нескольких целых значений \(W\), мы должны следить за тем, чтобы сумма \(M + W \leq 20\) и оба значения оставались целыми.
Для \(W = 7\): \[ M = \frac{10}{7} \cdot 7 = 10. \] Сумма \(M + W = 10 + 7 = 17\) (приемлемо).
Для \(W = 6\): \[ M = \frac{10}{7} \cdot 6 \approx 8.57 \quad (не целое). \]
Для \(W = 5\): \[ M = \frac{10}{7} \cdot 5 \approx 7.14 \quad (не целое). \]
Таким образом, наилучшим решением будет:
- \(M = 10\) и \(W = 7\).
Следовательно, общее количество людей на балу:
\[ M + W = 10 + 7 = 17. \]
На балу присутствует 17 человек.
