Постройте график функции и её свойства y=2x-x^2
Чтобы построить график функции \( y = 2x - x^2 \), сначала нужно определить ее свойства, такие как область определения, нули функции, вершина параболы и направление ветвей.
Область определения: Функция определена для всех значений \( x \), то есть область определения: \( x \in \mathbb{R} \).
Нули функции: Найдем значения \( x \), при которых \( y = 0 \): \[ 2x - x^2 = 0 \] Факторизуем уравнение: \[ x(2 - x) = 0 \] Отсюда получаем \( x = 0 \) и \( x = 2 \). Это значит, что график пересекает ось \( x \) в точках \( (0, 0) \) и \( (2, 0) \).
Вершина параболы: Данная функция является параболой, открывающейся вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный. Вершина параболы найдет по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -1 \), \( b = 2 \): \[ x = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \] Теперь подставим \( x = 1 \) в функцию, чтобы найти \( y \): \[ y = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, 1) \).
Направление ветвей: Поскольку парабола открывается вниз, её ветви направлены вниз.
Теперь можно построить график функции, используя найденные точки, а также примерно отметив поведение функции между этими значениями:
- Пересечения с осью \( x \): \( (0, 0) \) и \( (2, 0) \)
- Вершина: \( (1, 1) \)
График будет выглядеть как симметричная парабола, которая проходит через указанные точки.
Если вы хотите изобразить график, начертите координатную плоскость и отметьте эти ключевые точки, затем соедините их плавной кривой, которая открыта вниз.
