Зимой на обочине дороги, идущей от поселка B, дорожная служба насыпает небольшие кучки песка, чтобы при гололеде машины не буксовали на подъеме. Первый раз кучки были насыпаны в…
Зимой на обочине дороги, идущей от поселка B, дорожная служба насыпает небольшие кучки песка, чтобы при гололеде машины не буксовали на подъеме. Первый раз кучки были насыпаны в декабре с промежутком 60 метров, второй раз в январе с промежутком 75 метров. Первую кучку насыпали на окраине поселка B на месте прежней, насыпанной в декабре. Определи расстояние от нее до самой ближней кучки, которая тоже оказалась на месте декабрьской.
Давайте проанализируем ситуацию.
- Кучки, насыпанные в декабре, расположены на расстоянии 60 метров друг от друга. Пусть первая кучка будет находиться в точке \(0\) (на окраине поселка B), тогда следующие кучки будут находиться на позициях:
- \(0\) (первая)
- \(60\) (вторая)
- \(120\) (третья)
- \(180\) (четвертая)
- и так далее...
Таким образом, кучки, насыпанные в декабре, будут находиться в точках: \[ 0, 60, 120, 180, 240, \ldots \] Эти позиции можно описать как: \(60n\) (где \(n\) - целое число).
- Кучки, насыпанные в январе, расположены на расстоянии 75 метров друг от друга. Пусть первая кучка, насыпанная в январе, будет находиться в той же точке \(0\). Следующие кучки будут находиться на позициях:
- \(0\) (первая)
- \(75\) (вторая)
- \(150\) (третья)
- \(225\) (четвертая)
- и так далее...
Таким образом, кучки, насыпанные в январе, будут находиться в точках: \[ 0, 75, 150, 225, 300, \ldots \] Эти позиции можно описать как: \(75m\) (где \(m\) - целое число).
- Теперь необходимо найти ближайшую кучку, насыпанную в январе, которая находится на том же месте, что и декабрьская кучка (которая имеет позицию \(60n\)), и найти минимальное расстояние до точки, где насыпали кучку в январе.
Для этого нужно найти такие \(n\) и \(m\), что: \[ 60n = 75m. \]
Преобразуем это уравнение: \[ \frac{n}{m} = \frac{75}{60} = \frac{5}{4}. \] Это означает, что \(n = 5k\) и \(m = 4k\) для некоторого целого \(k\).
Теперь подставим эти значения в уравнение и найдем соответствующие позиции:
- Если \(k = 1\), то:
- \(n = 5\)
- \(m = 4\)
Таким образом, \[ 60n = 60 \cdot 5 = 300 \quad \text{(декабрьская кучка на позиции 300)} \] \[ 75m = 75 \cdot 4 = 300 \quad \text{(январская кучка на позиции 300)} \]
Теперь расстояние от первой кучки до ближайшей кучки, которая тоже оказалась на месте декабрьской, оказывается равным \(0\) метров, так как они находятся в одной и той же точке (300 метров).
Ответ: 0 метров.
