Зимой на обочине дороги, идущей от поселка B, дорожная служба насыпает небольшие кучки песка, чтобы при гололеде машины не буксовали на подъеме. Первый раз кучки были насыпаны в…
Зимой на обочине дороги, идущей от поселка B, дорожная служба насыпает небольшие кучки песка, чтобы при гололеде машины не буксовали на подъеме. Первый раз кучки были насыпаны в декабре с промежутком 60 метров, второй раз в январе с промежутком 75 метров. Первую кучку насыпали на окраине поселка B на месте прежней, насыпанной в декабре. Определи расстояние от нее до самой ближней кучки, которая тоже оказалась на месте декабрьской.
Для решения данной задачи сначала определим, на каких отметках располагаются кучки песка, насыпанные в декабре и январе.
Кучки, насыпанные в декабре: начнем с точки 0 (где находится первая кучка). Они располагаются на следующих отметках:
- 0 м (первая кучка)
- 60 м (вторая кучка)
- 120 м (третья кучка)
- 180 м (четвертая кучка)
- и так далее...
Это можно выразить как последовательность: \[ D_n = 60n \], где \( n \) — номер кучки (0, 1, 2,...)
Кучки, насыпанные в январе: первая кучка тоже располагается на 0 м. Эти кучки располагаются с промежутком в 75 метров:
- 0 м (первая кучка)
- 75 м (вторая кучка)
- 150 м (третья кучка)
- 225 м (четвертая кучка)
- и так далее...
Это последовательность можно выразить как: \[ J_m = 75m \], где \( m \) — номер кучки (0, 1, 2,...)
Теперь нам нужно найти расстояние от первой кучки (которая на месте первой кучки, насыпавшейся в декабре) до ближайшей кучки, которая тоже была насыпана в декабре.
Чтобы это сделать, нужно найти пересечение двух последовательностей \( D_n \) и \( J_m \):
- Наша задача сводится к уравнению: \[ 60n = 75m \]
Преобразуем его: \[ 4n = 5m \] \[ m = \frac{4n}{5} \]
Это уравнение говорит нам, что \( m \) должно быть целым числом, то есть \( 4n \) должно делиться на 5. Это можно переписать так: \( 4n \equiv 0 \pmod{5} \). Следовательно, \( n \) должно быть кратно 5, так как 4 и 5 являются взаимно простыми.
Таким образом, допустимые значения для \( n \) это 0, 5, 10, 15 и т.д.
Теперь вычислим расстояния до ближайших кучек, которые совпадают:
- Для \( n = 0 \): \( D_0 = 0 \) и \( m = 0 \): \( J_0 = 0 \) (разница = 0 м)
- Для \( n = 5 \): \( D_5 = 300 \) и \( m = 4 \): \( J_4 = 300 \) (разница = 0 м)
- Для \( n = 10 \): \( D_{10} = 600 \) и \( m = 8 \): \( J_8 = 600 \) (разница = 0 м)
Поскольку первая кучка в декабре находится в 0 метрах, а первая кучка в январе также находится в 0 метрах, то минимальное расстояние между кучками, насыпанными в декабре, остается таким же, равным 0 метров.
Таким образом, ответ на задачу: 0 метров (он совпадает с первой кучкой).
