Вычислите объем правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой рпвно 13см, а сторона основанная 5√2 см
Чтобы вычислить объем правильной четырёхугольной пирамиды, можно воспользоваться следующей формулой:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h \]
где \( V \) — объем пирамиды, \( S_{\text{осн}} \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.
Площадь основания: Основание правильной четырёхугольной пирамиды является квадратом, и его площадь \( S_{\text{осн}} \) рассчитывается по формуле:
\[ S_{\text{осн}} = a^2 \]
где \( a \) — длина стороны квадрата. У нас сторона основания равна \( 5\sqrt{2} \) см, следовательно:
\[ S_{\text{осн}} = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \text{ см}^2 \]
Высота пирамиды: Для нахождения высоты \( h \) нам нужно использовать теорему Пифагора, так как высота, боковое ребро и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. Половина стороны основания:
\[ \frac{a}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ см} \]
Боковое ребро равно 13 см, и мы можем записать уравнение по теореме Пифагора:
\[ h^2 + \left( \frac{5\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 13^2 \]
Подставляем значения:
\[ h^2 + \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 169 \] \[ h^2 + \frac{25 \cdot 2}{4} = 169 \] \[ h^2 + \frac{50}{4} = 169 \] \[ h^2 + 12.5 = 169 \] \[ h^2 = 169 - 12.5 \] \[ h^2 = 156.5 \] \[ h = \sqrt{156.5} \approx 12.5 \text{ см} \]
Теперь находим объем пирамиды:
Подставим найденные значения в формулу объем:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot 12.5 \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot 625 \] \[ V \approx 208.33 \text{ см}^3 \]
Таким образом, объем правильной четырёхугольной пирамиды составляет примерно \( 208.33 \text{ см}^3 \).
