Дан треугольник АВС такой что A=45°, B=30°, BC=108√2. Найди AC

Для нахождения длины стороны AC в треугольнике ABC с углами A = 45° и B = 30°, а также с известной стороной BC = 108√2, мы можем воспользоваться законом синусов.

Сначала найдем угол C. Угол C можно вычислить из суммы углов треугольника:

C = 180° - A - B = 180° - 45° - 30° = 105°.

Теперь, используя закон синусов, у нас есть следующая формула:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \]

где a, b, c – длины сторон, напротив углов A, B, C соответственно. В нашем случае:

• a = BC = 108√2 (сторона, противоположная углу A),
• b = AC (сторона, противоположная углу B),
• c = AB (сторона, противоположная углу C).

По закону синусов мы можем записать:

\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}. \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{108\sqrt{2}}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin 30°}. \]

Теперь подставим значения синусов:

• \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\),
• \(\sin 30° = \frac{1}{2}\).

Подставив это в уравнение, получаем:

\[ \frac{108\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}}. \]

Упростим это:

\[ 108\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = AC \cdot 2. \]

Таким образом:

\[ 216 = AC \cdot 2. \]

Теперь решим это уравнение для AC:

\[ AC = \frac{216}{2} = 108. \]

Итак, длина стороны AC равна 108.