Груз растягивает пружину динамометра на 1 см. Во сколько раз увеличится потенциальная энергия пружины, если массу груза утроить?

Потенциальная энергия пружины определяется формулой:

\[ U = \frac{1}{2} k x^2, \]

где \( U \) — потенциальная энергия, \( k \) — коэффициент жесткости пружины, а \( x \) — абсолютное удлинение пружины.

Если масса груза утройная, то сила, с которой груз действует на пружину, увеличивается в 3 раза. Поскольку сила, действующая на пружину, равна \( F = mg \) (где \( m \) — масса груза, а \( g \) — ускорение свободного падения), то при утроении массы груза:

\[ F' = 3mg. \]

Согласно закону Гука, сила пружины:

\[ F = kx, \]

где \( x \) — удлинение пружины. Следовательно, мы можем выразить новое удлинение \( x' \):

\[ 3mg = kx'. \]

Таким образом, если начальное удлинение \( x = 1 \, \text{см} \), то:

\[ x' = \frac{3mg}{k}. \]

Из закона Гука следует, что:

\[ x' = 3x. \]

Теперь можем найти отношение новых значений потенциальной энергии до и после утроения массы груза:

\[ U' = \frac{1}{2} k (x')^2 = \frac{1}{2} k (3x)^2 = \frac{1}{2} k \cdot 9x^2 = 9 \left( \frac{1}{2} k x^2 \right) = 9U. \]

Таким образом, потенциальная энергия пружины увеличится в 9 раз.