На сколько процентов изменится потенциальная энергия пружины динамометра, если массу груза, подвешенного к пружине, уменьшить в 2 раза?

Потенциальная энергия пружины (как и любого другого упругого тела) рассчитывается по формуле:

\[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 \]

где \( E_p \) — потенциальная энергия пружины, \( k \) — жесткость пружины, а \( x \) — деформация пружины.

Когда груз подвешивается на пружине, пружина деформируется, и это можно описать с помощью закона Гука:

\[ F = k x \]

где \( F \) — сила тяжести, действующая на груз (в данном случае это \( F = mg \), где \( m \) — масса груза, а \( g \) — ускорение свободного падения).

Когда мы уменьшаем массу груза в 2 раза (\( m \) становится \( \frac{m}{2} \)), сила тяжести, действующая на пружину, также уменьшается в 2 раза:

\[ F' = \frac{m}{2} g = \frac{1}{2} F \]

Это приводит к уменьшению деформации пружины в 2 раза:

\[ x' = \frac{F'}{k} = \frac{\frac{1}{2} F}{k} = \frac{1}{2} x \]

Теперь подставим это значение в формулу потенциальной энергии:

\[ E_p' = \frac{1}{2} k (x')^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{1}{2} x\right)^2 = \frac{1}{2} k \cdot \frac{1}{4} x^2 = \frac{1}{8} k x^2 \]

Сравнив новое значение потенциальной энергии с изначальным:

\[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 \]

Теперь найдем изменение потенциальной энергии:

Изменение потенциальной энергии:

\[ \Delta E_p = \frac{1}{8} k x^2 - \frac{1}{2} k x^2 = \left(\frac{1}{8} - \frac{4}{8}\right) k x^2 = -\frac{3}{8} k x^2 \]

Чтобы найти изменение в процентах, воспользуемся формулой:

\[ \text{процентное изменение} = \frac{\Delta E_p}{E_p} \times 100\% \]

Подставляем значения:

\[ \text{процентное изменение} = \frac{-\frac{3}{8} k x^2}{\frac{1}{2} k x^2} \times 100\% = \frac{-\frac{3}{8}}{\frac{1}{2}} \times 100\% = -\frac{3}{8} \times \frac{2}{1} \times 100\% = -\frac{6}{8} \times 100\% = -75\% \]

Таким образом, потенциальная энергия пружины уменьшится на 75%.