Вася составляет 6-буквенные слова, в которых есть только буквы М, А, Р, Т, причём буква Р используется в каждом слове ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?
Чтобы решить задачу, давайте разберем условия более подробно.
Васе нужно составить слова из 6 букв, в которых буква Р используется ровно 2 раза. Остальные буквы, А, М и Т, могут встречаться любое количество раз или не встречаться вообще.
Количество букв Р: Мы фиксируем, что в слове будет ровно 2 буквы Р. Таким образом, нам нужно выбрать 2 позиции из 6 для буквы Р. Это можно сделать с помощью сочетаний:
\[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]
Таким образом, можно выбрать 2 позиции для буквы Р 15 способами.
Оставшиеся 4 позиции: Теперь у нас осталось 4 позиции, которые могут быть заполнены буквами А, М и Т. Для каждой из этих 4 позиций у нас есть 3 варианта (буква А, буква М или буква Т), и они могут повторяться.
Таким образом, количество способов заполнить оставшиеся 4 позиции будет:
\[ 3^4 = 81 \]
Общее количество слов: Теперь, чтобы вычислить общее количество 6-буквенных слов, мы умножим количество способов выбрать позиции для буквы Р на количество способов заполнить оставшиеся позиции:
\[ 15 \times 81 = 1215 \]
Итак, Вася может составить 1215 различных 6-буквенных слов, удовлетворяющих заданным условиям.
