Две лёгкие пружины жёсткостями 100 Ньютонов на метр и 60 н/м соединены один раз последовательно другой параллельно Во сколько раз будут отличаться периоды колебания груза на таких пружинах

Чтобы понять, как различаются периоды колебаний груза на пружинах, нужно учитывать, как пружины соединены, и как это влияет на эквивалентную жёсткость системы.

1. Последовательное соединение: При последовательном соединении жёсткости пружин складываются по формуле: \[ \frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \] где \(k_1 = 100 \, \text{н/м}\) и \(k_2 = 60 \, \text{н/м}\). Подставим значения: \[ \frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{100} + \frac{1}{60} \] Чтобы сложить дроби, найдём общий знаменатель, которым здесь будет 300: \[ \frac{1}{100} = \frac{3}{300}, \quad \frac{1}{60} = \frac{5}{300} \] Тогда: \[ \frac{1}{k_{eq}} = \frac{3 + 5}{300} = \frac{8}{300} \] Следовательно: \[ k_{eq} = \frac{300}{8} = 37,5 \, \text{н/м} \]

Период колебаний \(T\) для пружинной системы определяется формулой: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}} \] где \(m\) - масса груза.

2. Параллельное соединение: При параллельном соединении жёсткости пружин складываются: \[ k_{eq} = k_1 + k_2 \] Подставляем значения: \[ k_{eq} = 100 + 60 = 160 \, \text{н/м} \]

Теперь найдем периоды колебаний для каждой из систем:

• Последовательное соединение: \[ T_{посл} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{37,5}} \]

• Параллельное соединение: \[ T_{парал} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{160}} \]

Теперь для нахождения соотношения периодов \(\frac{T_{посл}}{T_{парал}}\): \[ \frac{T_{посл}}{T_{парал}} = \frac{\sqrt{\frac{m}{37,5}}}{\sqrt{\frac{m}{160}}} = \sqrt{\frac{160}{37,5}} = \sqrt{\frac{1600}{375}} = \sqrt{\frac{32}{7.5}} \approx 2 \]

Таким образом, период колебаний груза на пружинах, соединённых последовательно, примерно в 2 раза больше, чем на пружинах, соединённых параллельно.