В треугольнике QRT  ∠T=105°, ∠R=30°, RT=10 корень из 2. Найди длину TQ.

Для нахождения длины стороны \( TQ \) в треугольнике \( QRT \), можем использовать теорему синусов.

Сначала найдем угол \( Q \):

\[ \angle Q = 180^\circ - \angle R - \angle T = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ. \]

Теперь у нас есть все углы треугольника:

• \( \angle Q = 45^\circ \)
• \( \angle R = 30^\circ \)
• \( \angle T = 105^\circ \)

Используем теорему синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \]

где \( a, b, c \) — стороны треугольника, противолежащие углам \( A, B, C \) соответственно. В нашем случае:

• \( a = TQ \) (противолежит углу \( R \))
• \( b = QR \) (противолежит углу \( T \))
• \( c = RT = 10\sqrt{2} \) (противолежит углу \( Q \))

Мы можем записать:

\[ \frac{TQ}{\sin 30^\circ} = \frac{10\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}. \]

Подставим значения синусов:

\[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Подставим в уравнение:

\[ \frac{TQ}{\frac{1}{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{10\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 20. \]

Таким образом, у нас есть:

\[ \frac{TQ}{\frac{1}{2}} = 20. \]

Теперь умножим обе стороны на \( \frac{1}{2} \):

\[ TQ = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10. \]

Таким образом, длина стороны \( TQ \) равна \( 10 \).