В классе 30 учеников. Учитель случайным образом выбирает 3 учеников для участия в школьном конкурсе. Вероятность того, что конкретный ученик заинтересован в участии в конкурсе, составляет 0,4. Какова вероятность того, что среди трех выбранных учеников ровно двое заинтересованы в участии в конкурсе? Oтвет округлите до сотых.
Чтобы решить задачу о вероятности того, что среди трех выбранных учеников ровно двое заинтересованы в участии в конкурсе, мы можем использовать биномиальное распределение.
Давайте обозначим:
- \( n = 3 \) — число испытаний (число выбранных учеников),
- \( k = 2 \) — число успехов (число заинтересованных в участии),
- \( p = 0.4 \) — вероятность успеха (вероятность того, что конкретный ученик заинтересован в конкурсе),
- \( q = 1 - p = 0.6 \) — вероятность неуспеха (вероятность того, что ученик не заинтересован).
Формула для вычисления вероятности при использовании биномиального распределения выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Теперь подставим наши значения в формулу:
- Вычислим биномиальный коэффициент \( C(3, 2) \):
\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3 \]
- Теперь подставим все в формулу вероятности:
\[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot p^2 \cdot q^{3-2} \]
\[ P(X = 2) = 3 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^1 \]
Теперь вычислим:
- \( (0.4)^2 = 0.16 \)
- \( (0.6)^1 = 0.6 \)
Подставляем значения:
\[ P(X = 2) = 3 \cdot 0.16 \cdot 0.6 \]
\[ P(X = 2) = 3 \cdot 0.096 = 0.288 \]
Таким образом, вероятность того, что среди трёх выбранных учеников ровно двое заинтересованы в участии в конкурсе, равна 0.288.
Округляем до сотых: ответ — 0.29.
