В русском языке обособленными членами предложения называют такие части, которые выделяются запятыми и служат для выделения или пояснения смысловой части высказывания. Рассмотрим приведенные варианты:
Все завидовали согласию, царствующему между надменным Троекуровым и бедным его соседом. - здесь "царствующему между надменным Троекуровым и бедным его соседом" является обособленным определением.
Он за столом у Кирила Петровича прямо высказывал своё мнение, не заботясь о том, противоречило ли оно мнениям хозяина. - здесь "не заботясь о том, противоречило ли оно мнениям хозяина" является обособленным обстоятельством.
Приближаясь к берёзовой роще, услышал он удары топора и через минуту треск повалившегося дерева. - здесь "Приближаясь к берёзовой роще" является обособленным обстоятельством.
Судии, надеявшиеся на его благодарность, не удостоились получить от него ни единого приветливого слова. - "надеявшиеся на его благодарность" является обособленным приложением.
Егоровна, некогда ходившая за его сыном, теперь сделалась и его нянькою. - "некогда ходившая за его сыном" является обособленным определением.
Кроме приказных, никто в доме не смыкал глаза. - "Кроме приказных" является обособленным обстоятельством.
Приехав в город, Андрей Гаврилович остановился у знакомого купца. - "Приехав в город" является обособленным обстоятельством.
Таким образом, во всех приведённых предложениях выделяются обособленные члены предложения. Обратите внимание на то, что отдельные обособленные конструкции включают определение, обстоятельство и приложение.