Дано: → m = 2 → a − → b + → c → n = → a − 2 → b ; | → a | = 3 , | → b | = 2 ; | −−→ a ; b | = 60 ∘ → c ⊥ → a , → c ⊥ → b Найти: → m ⋅ → n
Чтобы найти произведение векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \), начнем с определения самих векторов.
Дано:
- \( \vec{m} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} \)
- \( \vec{n} = \vec{a} - 2\vec{b} \)
- Длины векторов: \( |\vec{a}| = 3 \), \( |\vec{b}| = 2 \)
- Угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен \( 60^\circ \)
- Векторы \( \vec{c} \) перпендикулярны как к \( \vec{a} \), так и к \( \vec{b} \)
Сначала найдем вектор \( \vec{m} \):
\[ \vec{m} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} \]
Затем вектор \( \vec{n} \):
\[ \vec{n} = \vec{a} - 2\vec{b} \]
Теперь, чтобы найти произведение \( \vec{m} \cdot \vec{n} \), воспользуемся формулой скалярного произведения. Сначала подставим наши векторы:
\[ \vec{m} \cdot \vec{n} = (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) \]
Раскроем скобки:
\[ \vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + 2\vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{a} - 2\vec{c} \cdot \vec{b} \]
Теперь упростим выражение. Мы знаем:
- \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 3^2 = 9 \)
- \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 2^2 = 4 \)
- \( \vec{c} \cdot \vec{a} = 0 \) (так как \( \vec{c} \) перпендикулярен \( \vec{a} \))
- \( \vec{c} \cdot \vec{b} = 0 \) (так как \( \vec{c} \) перпендикулярен \( \vec{b} \))
- \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(60^\circ) = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 \)
Теперь подставляем эти значения в выражение:
\[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 9 - 2 \cdot 3 - 3 + 2 \cdot 4 + 0 - 0 \] \[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 9 - 6 - 3 + 8 \] \[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 8 \]
Таким образом, мы находим, что \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 8 \).
