Дано: → a , → b ; | → a | = 6 ; | → b | = 3 , ( → a → b ) = 120 ° . Найдите: | → a + 2 → b | .

Давайте разберемся с вашей задачей. У нас есть два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) с длинами \(|\vec{a}| = 6\) и \(|\vec{b}| = 3\). Угол между ними составляет \(120^\circ\). Нам нужно найти длину вектора \(|\vec{a} + 2\vec{b}|\).

Сначала найдём вектор \(2\vec{b}\): \[ |\vec{b}| = 3 \implies |2\vec{b}| = 2 \cdot 3 = 6. \]

Теперь у нас есть векторы \(\vec{a}\) и \(2\vec{b}\), и мы можем воспользоваться формулой для нахождения длины суммы двух векторов: \[ |\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2 |\vec{A}| |\vec{B}| \cos(\theta)}, \] где \(\theta\) — угол между векторами \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\).

Теперь подставим значения: \(\vec{A} = \vec{a}\), \(|\vec{A}| = 6\),

\(\vec{B} = 2\vec{b}\), \(|\vec{B}| = 6\),

Угол между векторами \(\vec{a}\) и \(2\vec{b}\) равен \(120^\circ\), так как угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) тоже \(120^\circ\) и вектор \(2\vec{b}\) просто растянут в два раза.

Теперь подставим все значения в формулу: \[ |\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)}. \]

Значение \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\), следовательно: \[ |\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2})}. \] Вычислим: \[ |\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{36 + 36 - 36} = \sqrt{36} = 6. \]

Таким образом, длина вектора \(|\vec{a} + 2 \vec{b}|\) равна \(6\).