Дано: → a , → b ; | → a | = 6 ; | → b | = 3 , ( → a → b ) = 120 ° . Найдите: | → a + 2 → b | .
Для решения задачи необходимо использовать свойства векторов и формулы для нахождения длины суммы векторов. Дано:
- Длина вектора \( → a \) равна 6: \( | → a | = 6 \)
- Длина вектора \( → b \) равна 3: \( | → b | = 3 \)
- Угол между векторами \( → a \) и \( → b \) равен 120°.
Наша цель - найти длину вектора \( | → a + 2 → b | \).
Сначала вычислим вектор \( 2 → b \):
\[ | 2 → b | = 2 \cdot | → b | = 2 \cdot 3 = 6 \]
Теперь найдем вектор \( → a + 2 → b \). Для этого воспользуемся формулой для нахождения длины суммы векторов:
\[ | → u + → v | = \sqrt{| → u |^2 + | → v |^2 + 2 | → u | | → v | \cos \theta} \]
где \( | → u | = | → a | \), \( | → v | = | 2 → b | \), и \( \theta \) - угол между ними. Угол между \( → a \) и \( 2 → b \) равен 120°, и мы можем его использовать.
Подставляя значения в формулу, получим:
\[ | → a + 2 → b | = \sqrt{| → a |^2 + | 2 → b |^2 + 2 | → a | | 2 → b | \cos 120^\circ} \]
Теперь подставим известные значения:
\[ = \sqrt{6^2 + 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ} \] \[ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \]
Таким образом:
\[ = \sqrt{36 + 36 + 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \] \[ = \sqrt{36 + 36 - 36} \] \[ = \sqrt{36} \] \[ = 6 \]
Таким образом, длина вектора \( | → a + 2 → b | \) равна 6.
