х²-9≤0 х+5≤0 неравенство

Давайте решим оба неравенства поочередно.

1. Первое неравенство: \(x^2 - 9 \leq 0\).

Это неравенство можно переписать в виде разности квадратов: \[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \leq 0 \] Теперь определим нули этого квадратного выражения, то есть решения уравнения \((x - 3)(x + 3) = 0\): \[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \\ x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \]

Теперь определим, на каких интервалах произведение \((x - 3)(x + 3)\) меньше или равно нулю. Мы рассматриваем промежутки:

• \(x < -3\)
• \(-3 \leq x \leq 3\)
• \(x > 3\)

Теперь проверим знак произведения на каждом интервале:

• Для \(x < -3\) (например, \(x = -4\)): \((-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = 7 > 0\)
• Для \(-3 < x < 3\) (например, \(x = 0\)): \((0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 < 0\)
• Для \(x > 3\) (например, \(x = 4\)): \((4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) = 7 > 0\)

Таким образом, \((x - 3)(x + 3) \leq 0\) выполняется на интервале \([-3, 3]\).

2. Второе неравенство: \(x + 5 \leq 0\).

Решим его: \[ x + 5 \leq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq -5 \]

Теперь у нас есть два условия:

1. \(x \in [-3, 3]\)
2. \(x \leq -5\)

Объединим эти результаты. Однако заметим, что нет пересечения между интервалом \([-3, 3]\) и неравенством \(x \leq -5\), поскольку \(-5\) меньше, чем \(-3\).

Таким образом, система неравенств не имеет решения, так как нет значений \(x\), которые удовлетворяют одновременно обоим неравенствам.