3. Сколькими способами можно определить стартовый состав команды (5 человек) для игры в баскетбол из 9 человек? 4. Сколько шестизначных нечетных чисел можно составить из цифр 0,…
3. Сколькими способами можно определить стартовый состав команды (5 человек) для игры в баскетбол из 9 человек? 4. Сколько шестизначных нечетных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 7, 8, в записи которых все цифры различны? 5. Учащиеся 9 класса изучают 12 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 5 различных уроков. 6. В классе учатся 13 мальчиков и 11 девочек. Сколькими способами можно выделить 5 мальчиков и 3 девочки для уборки территории?
Давайте решим каждую из задач по очереди.
Задача 3
Сколько способов можно определить стартовый состав команды (5 человек) для игры в баскетбол из 9 человек?
Чтобы выбрать 5 человек из 9, мы используем сочетания, поскольку порядок не важен. Формула для вычисления сочетаний выглядит так:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где \( n \) - общее количество объектов, \( k \) - количество выбираемых объектов, и \( ! \) - факториал.
В данном случае:
\[ n = 9, \, k = 5 \]
\[ C(9, 5) = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 \]
Таким образом, существует 126 способов выбрать стартовый состав команды.
Задача 4
Сколько шестизначных нечетных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 7, 8, в записи которых все цифры различны?
Для того чтобы число было нечетным, последняя цифра должна быть нечетной. Из предложенных цифр единственная нечетная цифра - 7.
- Фиксируем последнюю цифру 7. У нас остается 5 цифр для выбора: 0, 2, 4, 6, 8.
- Выбор первых пяти цифр. Первую цифру нельзя выбирать равной 0 (чтобы число оставалось шестизначным). Поэтому у нас остается 4 варианта на первую позицию (из 2, 4, 6, 8).
- После выбора первой цифры у нас останется 4 других цифры (включая 0), и нам нужно выбрать 4 из них. Позиции заполняются оставшимися числами, которые могут занимать любые позиции, поэтому остается 4!.
Теперь давайте посчитаем:
- Vарианты для первой цифры: 4 (2, 4, 6, 8)
- Варианты для заполнения остальных 5 позиций: 4! = 24
Итак, общее количество шестизначных нечетных чисел:
\[ 4 \times 24 = 96 \]
Задача 5
Сколько способов можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 5 различных уроков из 12 предметов?
Порядок важен, потому что расписание - это упорядоченный набор. Мы используем перестановки:
\[ A(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \]
где \( n = 12 \) и \( k = 5 \).
\[ A(12, 5) = \frac{12!}{(12-5)!} = \frac{12!}{7!} = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 = 95040 \]
Таким образом, существует 95040 способов составить расписание.
Задача 6
Сколько способов можно выделить 5 мальчиков и 3 девочки для уборки территории из 13 мальчиков и 11 девочек?
Для этого мы снова используем сочетания.
- Выбор 5 мальчиков из 13:
\[ C(13, 5) = \frac{13!}{5!(13-5)!} = \frac{13!}{5!8!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1287 \]
- Выбор 3 девочек из 11:
\[ C(11, 3) = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165 \]
Общее количество способов выбрать 5 мальчиков и 3 девочки:
\[ C(13, 5) \times C(11, 3) = 1287 \times 165 = 212355 \]
Таким образом, существует 212355 способов выделить 5 мальчиков и 3 девочки.
