Найди наименьшее и наибольшее значение функции заданных на промежутке 1) y=^x+2, [-1:1] 2) y=(3/4) ^2x, [0:1]

Конечно! Давайте найдем наименьшее и наибольшее значение каждой из заданных функций на указанных промежутках.

1) Функция \( y = e^x + 2 \) на промежутке \([-1, 1]\)

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции, сначала вычислим значения функции в крайних точках промежутка:

• \( x = -1 \): \[ y = e^{-1} + 2 \approx 0.3679 + 2 = 2.3679 \]

• \( x = 1 \): \[ y = e^{1} + 2 \approx 2.7183 + 2 = 4.7183 \]

Теперь проверим, есть ли критические точки на промежутке. Для этого найдём производную функции: \[ y' = e^x \] Поскольку \( e^x \) всегда положительно, функция монотонно возрастает на всём промежутке. Следовательно, значения функции в крайних точках будут наименьшим и наибольшим значениями функции на данном промежутке.

• Наименьшее значение: \( 2.3679 \) при \( x = -1 \)
• Наибольшее значение: \( 4.7183 \) при \( x = 1 \)

2) Функция \( y = \left( \frac{3}{4} \right)^{2x} \) на промежутке \([0, 1]\)

Аналогично, начнем с вычисления значений функции в крайних точках:

• \( x = 0 \): \[ y = \left( \frac{3}{4} \right)^{2 \cdot 0} = \left( \frac{3}{4} \right)^0 = 1 \]

• \( x = 1 \): \[ y = \left( \frac{3}{4} \right)^{2 \cdot 1} = \left( \frac{3}{4} \right)^{2} = \frac{9}{16} \approx 0.5625 \]

Теперь найдем производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{3}{4} \right)^{2x} \right) = 2 \ln\left( \frac{3}{4} \right) \left( \frac{3}{4} \right)^{2x} \] Поскольку \( \ln\left( \frac{3}{4} \right) < 0 \), то производная будет отрицательной на всему промежутке (функция убывает).

Следовательно, наименьшее и наибольшее значения находятся в крайних точках:

• Наименьшее значение: \( \frac{9}{16} \) при \( x = 1 \)
• Наибольшее значение: \( 1 \) при \( x = 0 \)

Таким образом, у нас получились следующие результаты:

1. Для функции \( y = e^x + 2 \):

   • Наименьшее значение: \( 2.3679 \)
   • Наибольшее значение: \( 4.7183 \)

2. Для функции \( y = \left( \frac{3}{4} \right)^{2x} \):

   • Наименьшее значение: \( \frac{9}{16} \)
   • Наибольшее значение: \( 1 \)

Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!