Расстояние по реке между двумя деревнями равно 2 км. на путь туда и обратно моторная туда и обратно моторная лодка затратила 22 мин. чему равна собственная скорость лодки, если…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Определим информацию:

   • Расстояние между деревнями (по течению и против течения) составляет 2 км.
   • Время в пути туда и обратно – 22 минуты.
   • Скорость течения реки равна 1 км/ч.
   • Необходима собственная скорость лодки (без учета течения).

2. Переведем время в часы: 22 минуты = 22/60 часов = 11/30 часов.

3. Обозначим скорость лодки без течения как \( v \) км/ч.

   • Когда лодка идет по течению, её скорость будет \( v + 1 \) км/ч.
   • Когда лодка идет против течения, её скорость будет \( v - 1 \) км/ч.

4. Расчитаем время в пути:

   • Время в пути по течению (туда): \( \frac{2}{v + 1} \).
   • Время в пути против течения (обратно): \( \frac{2}{v - 1} \).

   Суммируем эти времена: \[ \frac{2}{v + 1} + \frac{2}{v - 1} = \frac{11}{30}. \]

5. Приведем уравнение к общему знаменателю: \[ \frac{2(v - 1) + 2(v + 1)}{(v + 1)(v - 1)} = \frac{11}{30}. \] Применим упрощение: \[ \frac{2v - 2 + 2v + 2}{(v + 1)(v - 1)} = \frac{11}{30}, \] что упрощается до: \[ \frac{4v}{(v + 1)(v - 1)} = \frac{11}{30}. \]

6. Умножим обе стороны на \( 30(v + 1)(v - 1) \): \[ 120v = 11(v^2 - 1). \] Раскроем скобки: \[ 120v = 11v^2 - 11. \]

7. Перепишем уравнение в стандартном виде: \[ 11v^2 - 120v - 11 = 0. \]

8. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-120)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-11) = 14400 + 484 = 14884. \] Затем находим корни: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{120 \pm \sqrt{14884}}{22}. \]

   Вычислим \( \sqrt{14884} \): \(\sqrt{14884} \approx 122\).

   Подставляем значения: \[ v = \frac{120 \pm 122}{22}. \] Это дает два решения: \[ v_1 = \frac{242}{22} = 11 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-2}{22} \approx -0.09. \] Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v = 11 \) км/ч.

Таким образом, собственная скорость лодки составляет 11 км/ч.