2/x-1 - 1/x+1>3
Для решения неравенства \( \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} > 3 \), следуем шагам:
Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \(\frac{2}{x-1}\) и \(\frac{1}{x+1}\) будет \((x-1)(x+1)\).
Перепишем каждую дробь с общим знаменателем: \[ \frac{2(x+1) - 1(x-1)}{(x-1)(x+1)} > 3 \]
Упростим числитель: \[ 2(x+1) - (x-1) = 2x + 2 - x + 1 = x + 3 \] Таким образом, неравенство становится: \[ \frac{x + 3}{(x-1)(x+1)} > 3 \]
Переносим 3 в левую часть, получая: \[ \frac{x + 3}{(x-1)(x+1)} - 3 > 0 \]
Записываем 3 как дробь с тем же знаменателем: \[ 3 = \frac{3(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} \] Таким образом, неравенство становится: \[ \frac{x + 3 - 3(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} > 0 \]
Упростим числитель: \[ x + 3 - 3(x^2 - 1) = x + 3 - 3x^2 + 3 = -3x^2 + x + 6 \] Теперь неравенство выглядит как: \[ \frac{-3x^2 + x + 6}{(x-1)(x+1)} > 0 \]
Затем мы находим корни числителя \( -3x^2 + x + 6 = 0 \). Для этого используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-3)(6) = 1 + 72 = 73 \]
Корни будут: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{-6} \] Записываем корни: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{73}}{6}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{73}}{6} \]
Теперь нужно проанализировать, где дробь \(\frac{-3x^2 + x + 6}{(x-1)(x+1)}\) положительна. Для этого определим знаки множителей на интервалах между корнями и точками разрывов на \(x = 1\) и \(x = -1\).
Пометим все критические точки на числовой оси и исследуем знаки в каждом интервале:
- выберите тестовые значения в интервалах,
- проверьте, относится ли результат к положительному или отрицательному значению.
В итоге, мы можем выбрать нужные интервалы, где неравенство выполняется.
Надеюсь, это поможет вам в решении задачи! Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь обращаться.
